[논문 리뷰] On the Conjecture on APN Functions

Moisés Delgado, Heeralal Janwa|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 6인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 위에서 $ h(x) $가 약간의 조건을 만족하는 홀수 차수 다항식일 때, $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ 형태의 모든 함수가 예외적 아핀-퍼펙트-논-논-함수( exceptional APN functions)가 아니라는 것을 증명한다. 관련 표면 $ \phi(x,y,z) $ 에 대한 대수기하학적 접근과 기하학적 기하학적 기준을 사용하여, 저자들은 이전 결과를 확장하고, 오직 골드(Gold)와 카사미(Kasami) 단항식만 예외적 APN 함수라는 추측에 강력한 증거나를 제공한다.

ABSTRACT

An almost perfect nonlinear (APN) function (necessarily a polynomial function) on a finite field $\mathbb{F}$ is called exceptional APN, if it is also APN on infinitely many extensions of $\mathbb{F}$. In this article we consider the most studied case of $\mathbb{F}=\mathbb{F}_{2^n}$. A conjecture of Janwa-Wilson and McGuire-Janwa-Wilson (1993/1996), settled in 2011, was that the only exceptional monomial APN functions are the monomials $x^n$, where $n=2^i+1$ or $n={2^{2i}-2^i+1}$ (the Gold or the Kasami exponents respectively). A subsequent conjecture states that any exceptional APN function is one of the monomials just described. One of our result is that all functions of the form $f(x)=x^{2^k+1}+h(x)$ (for any odd degree $h(x)$, with a mild condition in few cases), are not exceptional APN, extending substantially several recent results towards the resolution of the stated conjecture.

연구 동기 및 목표

• 오랜 기간 동안 제기된 추측, 즉 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 위에서 오직 골드와 카사미 단항식만 예외적 APN 함수라는 추측을 해결하기 위해.
• 이전 결과를 확장하여, 특정 다항식 함수의 클래스가 예외적 APN이 아니라는 것을 증명하기 위해 관련 대수적 표면의 기하학적 기하학적 기준을 분석하기 위해.
• 홀수 차수일 때조차도 예외적 APN이 되지 않는 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ 형태의 함수에 대한 일반적인 조건을 설정하기 위해.
• 표면 $ \phi(x,y,z) = \frac{f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)} $ 를 사용하여 절대 기하학적 기하학적 기준을 통해 비예외적 APN 행동을 결정하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 홀수 차수 $ d < 2^k + 1 $ 인 다항식 $ h(x) $ 를 가지는 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ 를 정의하고, 관련 대칭 표면 $ \phi(x,y,z) $ 를 분석한다.
• Lang-Weil 및 Ghorpade-Lachaud의 유리점에 대한 경계를 기반으로, $ \phi(x,y,z) $ 가 절대 기하학적으로 기하학적일 경우 $ f $ 는 예외적 APN이 아니라는 특성화를 사용한다.
• Lemma 2 를 적용하여, 표면 $ \phi $ 가 평면 $ y = z $ 에서의 행동을 분석하고, 문제를 일변수 다항식의 나누어떨어짐 조건으로 축소한다.
• 모순에 의한 기하학적 기하학적 기준을 통해 기하학적 기하학적 기준을 확립한다: $ \phi = PQ $ 라고 가정하고, 차수 매칭 방정식을 유도하며, $ x+y $ 가 $ \phi_d(x,y) $ 를 나누어야 함을 보이고, 이는 알려진 인수분해 성질과 모순됨을 보인다.
• $ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ 인 조건을 사용하여 공통 인수가 인수분해를 허용하지 않음을 보장하고, 이는 기하학적 기하학적 기준에 필수적이다.
• 기하학적 기하학적 기준에 따라 $ d < 100 $, $ d \not\equiv 2^i+1, 2^{2i}-2^i+1 \pmod{2^n} $ 인 경우 $ \phi_d $ 의 기하학적 기하학적 기준을 활용하여 공약수 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 차수일 때 $ h(x) $ 를 가지는 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ 형태의 모든 함수가 비예외적 APN 함수인가?
• RQ2 $ h(x) $ 에 대한 어떤 조건에서 표면 $ \phi(x,y,z) $ 가 절대 기하학적으로 기하학적이며, 이는 비예외적 APN 행동을 암시하는가?
• RQ3 오직 골드와 카사미 단항식만 예외적 APN 함수라는 추측을 홀수 차수 다항식에 의한 변형까지 확장할 수 있는가?
• RQ4 $ \phi_{2^k+1} $ 과 $ \phi_d $ 의 공약수성은 $ \phi(x,y,z) $ 의 기하학적 기하학적 기준에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 평면 $ y = z $ 는 일변수 축소를 통해 $ \phi(x,y,z) $ 의 인수분해를 탐지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 홀수 차수 다항식 $ h(x) $ 를 가지는 $ f(x) = x^{65} + h(x) $ 의 모든 형태는 예외적 APN이 아니며, 이는 이전의 분류를 확장한다.
• 만약 $ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ 이고 $ d \equiv 1 \pmod{4} $ 라면, 표면 $ \phi(x,y,z) $ 는 절대 기하학적으로 기하학적이며, 이는 비예외적 APN 행동을 암시한다.
• 증명 기법은 $ \phi $ 가 인수분해된다면 $ x+y $ 가 $ \phi_d(x,y) $ 를 나누어야 하며, 이는 $ \phi_d $ 가 기하학적으로 기하학적이거나 반복된 선형 인수가 없는 경우 알려진 인수분해 성질과 모순됨을 보여준다.
• $ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ 조건은 기하학적 기하학적 기준에 필수적이며, 이는 $ \phi_d $ 가 절대 기하학적으로 기하학적일 경우에도 많은 경우에 만족된다.
• 이전의 아브리(Aubry), 맥길러이(McGuire), 로디에르(Rodier)의 정리들을 일반화하고 강화하여, 단항식을 넘어서는 더 넓은 범주의 함수를 다루었다.
• 이 작업은 골드와 카사미 단항식만 예외적 APN 함수라는 추측에 강력한 증거를 제공하며, 다항식의 변형에 의한 전체 가족의 제거를 통해 이를 뒷받침한다.