[논문 리뷰] On the connection between the radial momentum operator and the Hamiltonian in n dimensions

Gil Paz|arXiv (Cornell University)|2000. 09. 11.

Quantum and Classical Electrodynamics참고 문헌 3인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 자유 입자에 대한 표준 양자역학적 관계 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$가 원통좌표계 및 고차원 시스템에서 성립하지 않음을 보여준다. 일반적인 $n$-차원 공간에서 이 관계는 일관성을 유지하기 위해 추가 항 $\hbar^2(n-1)(n-3)/(8mr^2)$ 를 해밀토니안에 더해야만 한다. 이는 $n$-차원 구면좌표계의 곡률에서 기인한다. 이는 원통좌표계 및 고차원 시스템에서 단순한 원통형 운동량 표현이 실패하는 오랜 동안의 모순을 해결한다.

ABSTRACT

The radial momentum operator in quantum mechanics is usually obtained through canonical quantization of the (symmetrical form of the) classical radial momentum. We show that the well known connection between the Hamiltonian of a free particle and the radial momentum operator $\hat{H}=\hat{P}_{r}^2/2m+ $\hat{L}^2$}/2mr^{2}$ is true only in one or three dimensions. In general, an extra term of the form $\hbar^{2}(n-1)(n-3)/ 2m \cdot 4r^{2}$ has to be added to the Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 자연스러운 원통형 운동량 표현이 원통좌표계 및 고차원 시스템에서 실패하는 이유를 명확히 하기 위해.
• 표준 양자화를 사용하여 $n$-차원 구면좌표계에서 자유 입자에 대한 정확한 해밀토니안 형태를 유도하기 위해.
• $n$-차원 비선형 좌표계에서 원통형 운동량 연산자와 라플라스 연산자 사이의 격차의 기원을 규명하기 위해.
• 일반화를 통해 임의의 $n$에 대해 적용할 수 있도록 함으로써, 잘 알려진 3차원 관계가 본질적인 원리가 아니라 수치적 우연임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 메트릭 텐서와 부피 요소를 사용하여 $n$-차원 라플라스 연산자를 유도하기 위해.
• 라플라스 연산자의 원통형 부분을 $\Delta_r = \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r}\right)$ 로 표현하기 위해.
• 대칭적인 고전적 원통형 운동량의 양자화를 통해 원통형 운동량 연산자를 정의하기 위해: $\hat{P}_r = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{n-1}{2r}\right)$.
• $\hat{P}_r^2/2m$ 를 계산하고, 해밀토니안 $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$ 의 원통형 부분과 비교하기 위해.
• $\hat{P}_r^2/2m$ 와 원통형 라플라스 연산자 사이의 차이에서 발생하는 추가 항 $\frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$ 를 식별하기 위해.
• 가환 변환 $\hat{P}_r \to \hat{P}_r - i\hbar f(r)$ 를 사용하여 추가 항을 제거할 수 있는 재정의가 불가능함을 보여주어, 이 항이 물리적으로 필수적임을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 표준 원통형 운동량-해밀토니안 관계가 원통좌표계에서 실패하는가?
• RQ2 자유 입자에 대한 $n$-차원 구면좌표계에서의 해밀토니안의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 왜 관계 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ 는 1차원과 3차원에서만 성립하는가?
• RQ4 일반적인 $n$ 에 대해 해밀토니안에 나타나는 추가 항 $\frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$ 의 기원은 무엇인가?
• RQ5 유니터리 또는 게이지 변환을 통해 $\hat{P}_r^2/2m$ 와 원통형 라플라스 연산자 사이의 격차를 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 관계 $\hat{H} = \hat{P}_r^2/2m + \hat{L}^2/2mr^2$ 는 일반적인 $n$-차원 공간에서 1차원과 3차원에서만 유효하다.
• $n$-차원 구면좌표계에서 정확한 해밀토니안은 추가 항을 포함한다: $\hat{H} = \frac{\hat{P}_r^2}{2m} + \frac{\hat{L}^2}{2mr^2} + \frac{\hbar^2(n-1)(n-3)}{8mr^2}$.
• 추가 항은 $n$-차원 공간의 곡률에서 기인하며 $(n-1)(n-3)$ 비례하며, $n=1$ 및 $n=3$ 에서는 0이 된다.
• 원통형 운동량 연산자 $\hat{P}_r = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{n-1}{2r}\right)$ 는 캐논ical하며 추가 항을 제거할 수 있는 재정의가 불가능하다.
• 격차는 연산자 순서 문제 때문이 아니라 $n$-차원 극좌표계의 기하학적 구조에서 기인하며, Essén의 일반 양자화 규칙과의 비교를 통해 확인되었다.
• 원통좌표계에서의 실패는 $\rho$-좌표가 2차원 극좌표성질을 지닌 데 기인하며, 이는 일반적인 $n$-차원 분석에서의 $n=2$ 이상 현상과 동일한 원인을 가진다.