[논문 리뷰] On the constant scalar curvature Kähler metrics, existence results

Xiuxiong Chen, Jingrui Cheng|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 39인용 수 53

한 줄 요약

논문은 cscK 지표의 비존재와 K에너지가 비증가하는 destabilized geodesic ray 사이의 등가성을 증명하고, L1 기하 거리에서의 K에너지의 properness로부터 cscK 지표의 존재를 확립하며, 약한 최소화 해의 규칙성도 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we generalize our apriori estimates on cscK(constant scalar curvature Kähler) metric equation to more general scalar curvature type equations (e.g., twisted cscK metric equation). As applications, under the assumption that the automorphism group is discrete, we prove the celebrated Donaldson's conjecture that the non-existence of cscK metric is equivalent to the existence of a destabilized geodesic ray where the $K$-energy is non-increasing. Moreover, we prove that the properness of $K$-energy in terms of $L^1$ geodesic distance $d_1$ in the space of Kähler potentials implies the existence of cscK metric. Finally, we prove that weak minimizers of the $K$-energy in $(\mathcal{E}^1, d_1)$ are smooth.

연구 동기 및 목표

• cscK 유사 방정식에 대한 선행 추정(a priori estimates)을 보다 일반적인 스칼라 곡률 방정식(예: twisted cscK)으로 동기 부여하고 확장한다.
• 도날드슨 추측 증명: cscK 지표의 비존재 ⇔ 이산 자동대칭군 하에서 K-에너지가 비증가하는 destabilizing geodesic ray의 존재.
• L1 기하 거리에서의 K-에너지의 적합성이 cscK 지표의 존재를 함의함을 보인다.
• L1 공간에서 K에너지의 약한 최소화 해가 매끄럽다를 보여준다.
• cscK 지표의 존재를 기하적 안정성과 cscK 방정식 해결을 위한 연속 경로 접근과 연관지어 논한다.

제안 방법

• cscK 유사 방정식에 대한 선행 추정(a priori estimates)을 보다 일반적인 twisted cscK 유형 방정식으로 일반화한다.
• 도날드슨의 연속 경로와 기하적 제약하에서의 개방성/닫힘성(invertibility)으로 cscK 방정식을 해결한다.
• 완전한 측지 거리 공간(E^1, d1)에서 K에너지와 J_chi 기능을 확장하고, 한정된 에너지 기하에서의 볼록성을 연구한다.
• d1 거리로의 K에너지 적합성이 cscK 지표의 존재와 동등하다는 것을 입증한다.
• twisted K에너지의 약한 최소화 해가 continuity path를 통해 매끄럽다는 규칙성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 cscK 지표의 비존재가 비증가하는 K에너지를 가진 destabilizing geodesic ray의 존재를 함의하는가?
• RQ2 L1 기하 거리에서의 K에너지의 적합성이 cscK 지표의 존재를 보장하는가?
• RQ3 (E^1, d1)에서의 twisted K에너지의 약한 최소화 해가 반드시 매끄러운가?
• RQ4 twisted K에너지와 geodesic 안정성 및 이산 자동대칭 설정에서의 도날드슨 추측의 상호작용은 어떠한가?
• RQ5 continuity path를 twisted cscK 방정식 및 일반 자동대칭 군으로의 존재성 확장에 사용할 수 있는가?

주요 결과

• Aut0(M,J)=0 가정 하에 도날드슨의 추측이 확립된다: cscK 지표의 비존재는 비증가하는 K에너지를 가진 destabilized geodesic ray의 존재와 동치이다.
• cscK 지표의 존재는 공간의 d1 상에서 K에너지가 적합성에 의해 보장된다는 것과 동등하다.
• (K에너지의 약한 최소화 해)은 (E^1, d1)에서 매끄럽고, 이 규칙성 결과는 twisted K에너지에도 해당한다.
• K에너지와 J_chi는 (E^1, d1)로 확장될 수 있으며, 한정된 에너지 기하를 따라 convex하므로 cscK 존재에 대한 변분 접근을 가능하게 한다.
• 압축성 정리는 스칼라 곡률과 엔트로피가 유계인 Kähler 포텐셜 집합이 C^{3,α}에서 준압축(precompact)됨을 보여 주어, 곡률 하에서 Calabi 흐름의 연장을 포함한 규칙성 결과를 이끈다.
• 이 연구는 twisted 연속 경로의 해석 가능성을 정량화하기 위해 불변량 R([ω0], [χ])를 도입하고 이를 사용하여 R가 동일한 Kähler 클래스에서 잘 정의되고 불변임을 보인다.
• K에너지가 아래로 구속되면, R([ω0],[χ])=1 이면 그리고 그 반대도 성립한다는 사실이 확인되어 twisted 경로를 t<1까지 풀 수 있는지 여부를 명확히 한다.