[논문 리뷰] On the Construction and Malliavin Differentiability of Levy Noise Driven SDEs with Singular Coefficients

Sven Haadem, Frank Proske|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특이한 드리프트 계수(유계이고 허더 연속)를 가진 임의의 $\alpha$-스테이블 레비 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대해, 매알리avin 미분법 기반의 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 경로 유일성에 의존하지 않고 직접적인 근사 및 컴팩트니스를 통해 유일한 강해를 구성한다. 조건 $\alpha + \beta > 2$ 하에서, $\alpha \in (1,2)$ 및 $\beta \in (0,1)$ 이면 해의 존재성과 매알리avin 미분 가능성도 동시에 증명된다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new technique to construct unique strong solutions of SDEs with singular coefficients driven by certain Levy processes. Our method which is based on Malliavin calculus does not rely on a pathwise uniqueness argument. Furthermore, the approach, which provides a direct construction principle, grants the additional insight that the obtained solutions are Malliavin differentiable.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정에 의해 구동되는 특이한(허더 연속) 드리프트 계수를 가진 SDE의 강해에 대한 직접적 구성 방법을 개발함으로써, 경로 유일성에 의존하지 않도록 하는 것.
• 기존의 매알리avin 미분법 기법을 유클리드 브라운 운동의 경우에서 순수 점프 레비 과정, 특히 잘라낸 $\alpha$-스테이블 과정으로 확장하는 것.
• 구성 방법의 부산물로 해의 매알리avin 미분 가능성 확립하기.
• 레비 지수 $\alpha$와 드리프트의 허더 지수 $\beta$에 대해 임계 정규성 조건 $\alpha + \beta > 2$ 하에서 강해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 연도에 따라 변화하는 드리프트 계수 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ 형태로 일반화한 경우, 연속적인 $f_i$와 허더 연속인 $b_i$를 가진 경우에도 방법을 적용 가능한지 검토하는 것.

제안 방법

• 특이 드리프트 계수 $b$를 매끄러운 함수의 수열 $b_n$으로 근사하여, 해가 알려진 유일한 강해를 가지는 SDE 수열 $X_t^n$을 구성한다.
• 레비 과정 $L_t$와 관련된 역코모고로프 방정식의 해를 이용해 드리프트 적분 $\int_0^t b_n(s,X_s^n)ds$를 재구성함으로써 정규성을 향상시킨다.
• 레비 과정의 $L^2$ 유계 함수성에 기반한 새로운 컴팩트니스 기준을 매알리avin 미분법에 기반해 수열 $X_t^n$에 적용하여 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• $X_t^n$ 이 $L^2(\Omega)$에서 극한 $X_t$로 수렴함을 증명하고, 이 극한이 원래 SDE (1)을 수렴함을 보인다.
• 근사해의 매알리빈 도함수 $D_{\cdot,\cdot}X_t^n$에 대한 균일한 유계성과 [27]의 수렴 결과를 이용해 극한 해 $X_t$의 매알리빈 미분 가능성 증명한다.
• 이토 등식과 코모고로프 해의 이阶 도함수에 대한 추정을 이용해 두 해의 차이를 제어하고, 그론발의 부등식을 적용하여 수렴 시 해의 경로 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 유일성 또는 야마다-와타나베 원리에 의존하지 않고, 특이 드리프트 계수를 가진 SDE의 강해에 대한 직접적 구성 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 레비 과정 $L_t$와 드리프트 계수 $b$에 대한 어떤 정규성 조건 하에서 순수 점프 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 유일한 강해가 존재하는가?
• RQ3 이러한 SDE의 해는 매알리빈 미분 가능한가? 그리고 이 성질은 매알리빈 미분법 기반의 컴팩트니스 추론을 통해 확립될 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 연도에 따라 변화하는 드리프트 계수 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ 형태로 일반화될 수 있는가? 여기서 $f_i$는 연속이고 $b_i$는 허더 연속이다.
• RQ5 레비 지수 $\alpha$와 드리프트의 허더 지수 $\beta$에 대해 존재성과 유일성을 보장하는 임계 정규성 임계값 $\alpha + \beta > 2$는 무엇인가?

주요 결과

• 차원 $d$인 잘라낸 $\alpha$-스테이블 과정에서 $\alpha \in (1,2)$ 이고 드리프트 계수 $b \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$ 이며 $\beta \in (0,1)$ 이면, 충분히 작은 $T > 0$ 에 대해 $\alpha + \beta > 2$ 조건 하에 유일한 강해가 존재한다.
• 구성된 해 $X_t$는 모든 $t \in [0,T]$ 에 대해 매알리빈 미분 가능하다. 이는 근사해의 매알리빈 도함수에 대한 균일한 유계성에서 유도된다.
• 해의 매알리빈 도함수는 $k \geq 1$ 및 $0 < \tau \leq T$ 에 대해 다음 유계성 조건을 만족한다: $\mathbb{E}[\|D_{\cdot,\cdot}X^{n_k}(\tau)\|_{L^2((0,\tau)) \otimes L^2(\nu)}^2] \leq K \exp(T M H_1(\|b\|_{C_b^\beta}^2))$, 이는 적분 가능성 보장을 한다.
• 증명 과정에서 이토 등식과 그론발의 부등식을 이용해 유일성을 확립하였으며, 조건 $\alpha + \beta > 2$ 하에서 두 해의 차이가 0으로 수렴함을 보였다.
• 시간에 따라 변화하는 드리프트 $b(t,x) = \sum_{i=1}^m f_i(t)b_i(x)$ 형태로 일반화된 경우에도 방법이 적용 가능하며, 존재성과 매알리빈 미분 가능성 유지된다.
• 경로 유일성에 의존하지 않고, 매알리빈 미분법 기반의 컴팩트니스 추론을 통해 해를 직접 구성하는 방법을 제시한다.