[논문 리뷰] On the construction of Lyapunov functions with computer assistance

Kaname Matsue, Tomohiro Hiwaki외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 20.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속 및 이산 동역학계에서 비특이 고정점 주변의 명시적 리아푸노프 함수를 구성하기 위한 컴퓨터 보조 방법론을 제시한다. 두 단계 검증—관련 행렬의 음의 정부호성(단계 1)과 도함수의 직접 계산(단계 2)—을 통해 구역 내에서 이차 리아푸노프 함수의 타당성을 검증함으로써 국소 역학의 엄밀한 분석과 리아푸노프 값에 의한 궤도 재매개변수화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Computer assisted procedures of Lyapunov functions defined in given neighborhoods of fixed points for flows and maps are discussed. We provide a systematic methodology for constructing explicit ranges where quadratic Lyapunov functions exist in two stages; negative definiteness of associating matrices and direct approach. We note that the former is equivalent to the procedure of cones describing enclosures of the stable and the unstable manifolds of invariant sets, which gives us flexible discussions of asymptotic behavior not only around equilibria for flows but also fixed points for maps. Additionally, our procedure admits a re-parameterization of trajectories in terms of values of Lyapunov functions. Several verification examples are shown for discussions of applicability.

연구 동기 및 목표

• 비특이 고정점 주변의 명시적 이웃 영역에서 리아푸노프 함수를 체계적이고 컴퓨터 보조적으로 검증하기 위한 방법 개발.
• 비선형 동역학계의 추상적 존재 정리와 실제 계산 가능하고 검증 가능한 리아푸노프 함수 사이의 격차를 메우기.
• 두 단계 검증 절차를 결합하여 리아푸노프 함수의 적용 가능 영역을 평형점 이외의 영역으로 확장하기.
• 리아푸노프 함수 값에 의한 궤도 재매개변수화를 통해 점근적 행동 분석의 향상.
• 동역학계의 리아푸노프 함수, 콘 조건, 검증된 수치 계산을 연결하는 통합 프레임워크 제공.

제안 방법

• 시간 도함수의 행렬 A(z)의 음의 정부호성을 간격 산술을 통해 엄밀히 검증함으로써, 궤도를 따라 이차 리아푸노프 함수의 도함수와 관련된 행렬의 음의 정부호성을 검증하는 단계 1.
• 평형점이 포함되지 않은 영역에서는 검증된 수치 적분을 통해 궤도를 따라 dL/dt < 0를 직접 계산하고 검증하는 단계 2.
• 고정점에서의 야코비안 행렬을 사용하여 관련 행렬 A(z)를 정의하며, 그 음의 정부호성은 비특이성과 평형점의 국소 유일성을 암시한다.
• 리아푸노프 함수 증분과 관련된 행렬 B(z)의 엄격한 음의 정부호성을 검증하여 이산계로의 방법 확장.
• 리아푸노프 함수 값에 의한 궤도 재매개변수화를 적용하여 유한 및 무한 시간 간격 동안의 점근적 역학을 추적.
• 검증된 수치 해법기와 영역 분할을 활용하여 고정점 주변의 직접 이웃 영역을 초월한 리아푸노프 영역의 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흐름과 사상의 비특이 고정점 주변에서 컴퓨터 보조 방법을 사용해 체계적으로 명시적 리아푸노프 함수를 구성하고 검증할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 도함수와 관련된 행렬 A(z)의 음의 정부호성과 동역학계 이론에서 전통적으로 사용되는 콘 조건 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 두 단계 검증 절차—행렬 정부호성 검증 후 도함수 직접 계산—를 통해 평형점 주변의 직접 이웃 영역을 초월한 리아푸노프 영역을 확장할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 리아푸노프 함수 값에 기반한 궤도 재매개변수화를 통해 장기적 행동 분석을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 고유값이 흐름의 경우 허수축에 가까운 영역이나 사상의 경우 단위원주에 가까운 영역에서 이 방법의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• dL/dt와 관련된 행렬 A(z)의 음의 정부호성은 안정 및 불안정 다변수의 콘 조건과 동치이며, 점근적 분석을 위한 통합 프레임워크를 제공한다.
• 단계 1에서의 행렬 정부호성 검증은 비특이 평형점의 국소 유일성을 보장하며, 리아푸노프 함수의 타당성에 대한 충분조건을 제공한다.
• 단계 2는 단계 1에 실패하는 영역, 특히 평형점에서 멀리 떨어진 영역에서도 리아푸노프 영역의 확장을 가능하게 한다.
• 간격 산술과 검증된 수치 계산을 활용하여 이산 및 연속계 모두에서 리아푸노프 함수의 타당성을 성공적으로 검증하였다.
• 리아푸노프 함수 값에 의한 궤도 재매개변수화를 통해 점근적 역학, 특히 폭발과 같은 특이 행동의 추적을 가능하게 하였다.
• 고유값의 실수부가 0에 가까운 방향(흐름)이나 모듈러스가 1에 가까운 방향(사상)에서는 수치적으로 도전적인 문제가 발생한다.