[논문 리뷰] On the continued fraction expansion of absolutely normal numbers

Adrian-Maria Scheerer|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시에르피ńskiego의 방법과 혼합 과정에 대한 대칭 이탈 이론을 기반으로 하는 재귀적 이진 자릿수 단위 구축을 통해, 연속 분수 전개가 가우스-쿠즈민 측도에 대해 정규인 명시적이고 계산 가능한 절대 정규 수를 구성한다. 주요 기여는 동시에 절대 정규이자 연속 분수 정규인 수의 첫 번째 명시적 구축이다.

ABSTRACT

We construct an absolutely normal number whose continued fraction expansion is normal in the sense that it contains all finite patterns of partial quotients with the expected asymptotic frequency as given by the Gauss-Kuzmin measure. The construction is based on ideas of Sierpinski and uses a large deviations theorem for sums of mixing random variables.

연구 동기 및 목표

• 절대 정규이자 연속 분수 정규인 수를 명시적으로 구성하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 재귀적 이진 자릿수 선택을 사용하여 그러한 수를 생성하는 구조적이고 계산 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.
• 혼합 과정에 대한 대칭 이탈 이론을 적용하여 연속 분수 정규성의 측도 이론적 이탈을 제어하기 위해.
• 구성된 수가 비정규 집합을 피하면서도 원하는 불변 집합에서 전체 측도를 유지하도록 보장하기 위해.
• 알고리즘이 동시에 절대 정규성과 가우스-쿠즈민 정규성을 만족하는 수를 생성함을 보여주기 위해.

제안 방법

• [0,1)에서 시작하여 매 단계에서 반으로 나누는 방식으로 이산적 간격 선택 과정을 재귀적으로 적용하여 이진 자릿수를 결정한다.
• 연속 분수 정규성을 보장하기 위해 부분 몰입 수의 성장률을 통제하는 큰 전체 측도 집합 Ω를 정의한다.
• 비정규 수를 포함하는 작은 오차 집합 E를 구성하며, 주어진 β > 0에 대해 λ(E) < β 임을 보장한다.
• 가우스-쿠즈민 측도에서의 이탈을 제어하기 위해 혼합 랜덤 변수의 합에 대한 대칭 이탈 추정을 적용한다.
• 계산 가능성을 확보하기 위해 유한 근사 Ω_N 및 E_k를 사용하며, 오차 한계를 각각 ω_N 및 r_k로 설정한다.
• 각 단계에서 (Ω_N \ E_k)와의 교차에서 측도가 최대가 되는 간격을 선택함으로써 최종 집합에서 양의 측도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우스-쿠즈민 측도에 대해 정규인 연속 분수 전개를 갖는 절대 정규 수를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 정수 기수에서 동시에 정규이자 연속 분수 정규인 수를 생성하는 재귀적이고 계산 가능한 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 혼합 과정에 대한 대칭 이탈 이론을 적용하여 연속 분수 정규성의 측도 이론적 이탈을 제어할 수 있는가?
• RQ4 원하는 정규 수 집합에서 전체 측도를 유지하면서도 계산 가능하게 구성할 수 있는가?
• RQ5 동시에 절대 정규이자 연속 분수 정규인 수가 존재하며, 이를 알고리즘적으로 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 (Ω_N \ E_k)에서 측도가 최대가 되는 간격을 선택함으로써 재귀적으로 이진 전개가 생성되는 계산 가능한 실수 ν를 구성한다.
• 구성된 수 ν는 절대 정규이며, 모든 정수 기수 b ≥ 2에 대해 단순 정규이다.
• ν의 연속 분수 전개는 가우스-쿠즈민 측도에 대해 정규이며, 모든 유한 패턴의 부분 몰입 수가 기대 빈도로 나타난다.
• 각 단계에서 λ((Ω \ E) ∩ c_i) > 0 임을 보장함으로써, 선택된 간격 내에 그러한 수가 존재함을 보장한다.
• 각 이진 자릿수는 기본 산술 연산과 비교를 사용한 유한 계산으로 결정될 수 있으므로, 알고리즘이 계산 가능하다.
• 증명은 대칭 이탈 추정을 기반으로 하며, 연속 분수 정규성 실패 집합의 측도를 제어하여 오차 집합 E가 작지만 양의 측도를 가짐을 보장한다.