[논문 리뷰] On the controllability of some steady states in the case of nonlinear discrete dynamical systems with control

Éva Kaslik, A.M. Balint외 2명|ArXiv.org|2003. 11. 11.

Chaos control and synchronization참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 이산 동역계 시스템에서 제어가 가능한 상황에서, 해석적 경로로 연결된 두 점근적 안정 상태는 제어 파rameter의 연속적인 조작을 통해 점차 서로로 이행될 수 있음을 규명한다. 핵심 결과는 리아푸노프 함수의 영역 안정성 도메인의 해석성에 기반하며, 각 중간 상태가 다음 상태의 영역 안정성 내에 있을 경우 전이가 가능함을 보장한다.

ABSTRACT

The main objective of this paper is to show that two asymptotically stable steady states which belong to an analytic path of asymptotically stable steady states can be gradually transferred one to the other by successive changes of the control parameters.

연구 동기 및 목표

• 비선형 이산 동역계 시스템에서 제어 파rameter를 갖는 점근적 안정 상태의 제어 가능성에 대해 연구한다.
• 해석성과 리아푸노프 함수 이론을 활용하여 연속계에서의 결과를 이산 시간계로 확장한다.
• 제어 파arameter의 변화 시퀀스가 한 안정 상태에서 다른 안정 상태로 시스템을 전이시킬 수 있는 조건을 설정한다.
• 리아푸노프 함수의 자연적 해석성 도메인을 이용해 점근적 안정 고정점의 영역 안정성을 특성화한다.
• 초기 상태가 목표 안정 상태의 영역 안정성 내에 있을 경우에만 성공적인 조작이 가능하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 안정 상태의 해석적 경로 φ: D₁ ⊂ D → Ω를 정의하며, 모든 α ∈ D₁에 대해 φ(α) = f(φ(α), α)를 만족한다.
• y_k = x_k - φ(α)의 변환을 적용하여 안정 상태를 원점으로 이동시켜 y=0 주변의 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 문헌 [4]의 정리에 기반하여, 점근적 안정 고정점의 영역 안정성 도메인이 함수 방정식 V(g(y)) - V(y) = -||y||²를 만족하는 해 V에 대해 자연적 해석성 도메인과 일치함을 이용한다. 여기서 V(0)=0이다.
• maneuver α′ → α″가 성공하는 것은 φ(α′) ∈ DA(φ(α''))일 때에만 성립함을 증명한다.
• 음함수정리(implicit function theorem)를 적용하여, 조건 ||∂ₓf(x⁰, α⁰)|| < 1을 만족할 경우 주어진 안정 상태 (x⁰, α⁰)를 통과하는 최대 해석적 경로 φ(α)의 존재를 증명한다.
• 역함수정리(inverse function theorem)를 적용하여, α⁰ 근처에서 경로 φ(α)가 해석적이고 유일함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 이산 동역계에서 제어가 가능한 상황에서, 해석적 경로로 연결된 두 점근적 안정 상태는 서로로 이행될 수 있는가?
• RQ2 제어 파arameter 변화 α′ → α″가 한 안정 상태에서 다른 안정 상태로의 성공적인 전이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이산계에서 안정 고정점의 영역 안정성은 리아푸노프 함수의 해석성 도메인과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 제어 파arameter의 변화 시퀀스를 통해 중간 상태를 거쳐 한 안정 상태에서 다른 안정 상태로 이동이 가능한가?
• RQ5 연속계에서의 제어 가능성 결과는 해석성과 리아푸노프 함수 이론을 활용해 이산 시간계로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 스펙트럴 노름 ||∂ₓf(x⁰, α⁰)|| < 1을 만족할 경우, 주어진 안정 상태 (x⁰, α⁰)를 중심으로 국소적으로 해석적 안정 상태 경로가 존재한다.
• 안정 고정점 x⁰ = φ(α)의 영역 안정성 도메인은 함수 V(g(y)) - V(y) = -||y||²를 만족하고 V(0)=0 인 리아푸노프 함수 V의 자연적 해석성 도메인과 일치한다.
• maneuver α′ → α″가 성공하는 것은 φ(α′)가 목표 상태 φ(α'')의 영역 안정성 내에 있을 때에만 가능하다.
• 예제 1에서는 α=1에서 α=3으로의 이동이 실패한다. 그 이유는 목표 상태가 불안정하기 때문이다. 그러나 중간에 안정 상태를 거쳐 전이하는 것은 가능하다.
• 예제 2에서는 유한한 수의 성공적인 조작을 통해 시스템이 φ₁(0)=0에서 φ₁(2)=2로 이동한다. 각 단계에서 영역 안정성 조건이 만족된다: 0 ∈ DA(φ₁(0.7)), φ₁(0.7) ∈ DA(φ₁(1.4)), φ₁(1.4) ∈ DA(φ₁(2)).
• 예제 3에서는 α=−1에서 α=1로의 네 단계 조작이 성공적으로 이루어지며, 시스템은 (−1,−1)에서 (1,1)로 이동한다. 각 중간 상태는 다음 목표 상태 주변의 단위 구 내에 있다.