[논문 리뷰] On the convergence of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions

L. G. González Ricardo, G. López Lagomasino외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 22.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실계수를 가진 니키시닌 시스템의 유리수 편항에 의해 생성된 유리형 함수에 대한 다중 수준 허미트-파데 근사의 수렴성을 확립한다. 이는 특성 다항식의 지지집합과 영점들로부터 떨어진 컴팩트 부분집합에서 기하학적 수렴 속도를 증명하며, 잠재적 이론과 수직 다항식을 활용하여 마르코프 및 스틸체스 유형 정리의 이론을 이 클래스의 함수로 확장한다.

ABSTRACT

The present paper deals with the convergence properties of multi-level Hermite-Padé approximants for a class of meromorphic functions given by rational perturbations with real coefficients of a Nikishin system of functions, and study the zero location of the corresponding multiple orthogonal polynomials.

연구 동기 및 목표

• 유리수 편항에 의해 생성된 니키시닌 시스템의 다중 수준 허미트-파데 근사에 대해 마르코프 및 스틸체스 유형 수렴 정리를 확장하는 것.
• 이러한 편항된 시스템과 관련된 다중 수직 다항식의 영점 분포를 분석하는 것.
• 근사의 지지집합과 극점들로부터 떨어진 복소평면의 컴팩트 부분집합에서 균일 수렴성을 확립하는 것.
• 잠재적 이론 도구와 극값 문제를 활용하여 수렴 속도에 대한 정량적 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 연구는 니키시닌 시스템 내 측도의 코시 변환을 포함하는 다항식 방정식 시스템을 통해 정의된 다중 수준 허미트-파데 근사를 사용한다.
• 근사의 점근적 행동과 관련 다항식을 분석하기 위해 반전 니키시닌 시스템을 도입한다.
• 수렴 분석은 마지막 간격의 볼록결합의 여집합에서 단위 원판 외부로의 등각사상인 함수 $ \varphi_{\infty} $ 를 활용한다.
• 수렴 속도 추정을 도출하기 위해 $ \rho < 1 $ 인 곡선 $ \gamma_{\rho} $ 에서 최대원리를 적용하며, 근사의 노름과 그 비율에 대한 유계를 사용한다.
• 근사의 극점의 위치를 결정하는 특성 다항식 $ T(z) $ 를 사용하며, $ \delta(\mathcal{K}) $ 는 수렴 속도의 연속성 모듈러스로 정의한다.
• 비율 $ a_{n,j}/a_{n,m} $ 가 컴팩트 집합 $ \mathcal{K} $ 에서 $ \widehat{s}_{m,j+1} $ 로 균일 수렴하며, 이 수렴 속도는 $ \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $ 에 의해 결정됨을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 니키시닌 시스템의 유리수 편항에 의해 생성된 유리형 함수에 대해 다중 수준 허미트-파데 근사가 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 복소평면에서 관련된 다중 수직 다항식의 영점은 점점 어떻게 행동하는가?
• RQ3 지지집합과 극점들을 제외한 복소평면의 컴팩트 부분집합에서 근사의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 이러한 근사에 대해 기하학적 수렴 속도를 확립할 수 있으며, 이는 지지집합의 기하학적 성질과 편항의 성질에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 반전 니키시닌 시스템은 근사의 수렴 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다중 수준 허미트-파데 근사는 컴팩트 집합 $ \mathcal{K} \subset \overline{\mathbb{C}} \setminus (\Delta_m \cup \{z: T(z) = 0\}) $ 에서 균일 수렴하며, 극한은 유리수 편항에 의해 정의된 유리형 함수이다.
• 수렴 속도는 기하학적이며, 오차 노름의 $ n $ 제곱근은 $ \limsup_{n \to \infty} \left\| \frac{a_{n,j}}{a_{n,m}} - \widehat{s}_{m,j+1} \right\|_{\mathcal{K}}^{1/n} \leq \delta(\mathcal{K}) \|\varphi_{\infty}\|_{\mathcal{K}} $ 를 만족한다.
• 근사의 극점의 주요 결정자인 다항식 $ a_{n,m} $ 의 영점들은 $ n \to \infty $ 일 때 특성 다항식 $ T(z) $ 의 영점으로 수렴한다.
• 적당히 큰 $ n $ 에 대해 다항식 $ a_{n,m} $ 는 $ \Delta_m $ 외부에 정확히 $ D $ 개의 영점을 가지며, 이들은 $ \Delta_m $ 과 $ T(z) $ 의 영점 집합에서 떨어진 컴팩트 집합 $ \mathcal{K} $ 와의 거리에서 일정하게 유지된다.
• 근사는 $ \mathcal{K} $ 에서 균일 수렴하며, 오차는 $ \delta(\mathcal{K}) $ 에 의해 제어되며, 이는 집합의 용량과 등각사상 $ \varphi_{\infty} $ 와 관련된 양이다.
• 생성 측도가 스탈과 토틱의 정의에 따라 정규일 경우 더 정밀한 수렴 추정이 기대되나, 이는 향후 연구에 남겨진다.