[논문 리뷰] On the convergence of the hp-BEM with quasi-uniform meshes for the electric field integral equation on polyhedral surfaces

Alex Bespalov, Norbert Heuer|ArXiv.org|2008. 10. 20.

Numerical methods in engineering참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조각별 평면 다면체 표면에서 전기장 적분방정식(EFIE)에 대해, 준균일 메esh와 Raviart-Thomas $H({\mathrm{div}})$-일치 요소를 사용하여 $hp$-경계요소법(BEM)의 준최적 수렴성을 확립한다. 주요 기여는 다항수준에 대한 준안정성을 보장하는 새로운 $"]\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv})$-일치 $p$-보간 연산자 구축 및 분석으로, 낮은 해의 정(regularity)에도 불구하고 $hp$-버전의 수렴 증명이 가능해졌다.

ABSTRACT

In this paper the hp-version of the boundary element method is applied to the electric field integral equation on a piecewise plane (open or closed) Lipschitz surface. The underlying meshes are supposed to be quasi-uniform. We use H(div)-conforming discretisations with quadrilateral elements of Raviart-Thomas type and establish quasi-optimal convergence of hp-approximations. Main ingredient of our analysis is a new H^{-1/2}(div)-conforming p-interpolation operator that assumes only H^r \cap H^{-1/2}(div)-regularity (r > 0) and for which we show quasi-stability with respect to polynomial degrees.

연구 동기 및 목표

• 조각별 평면 다면체 표면에서 준균일 메esh를 사용한 전기장 적분방정식(EFIE)에 대한 $hp$-BEM의 수렴성을 확립하기 위해.
• 다면체 표면의 모서리 및 꼭짓점 특이성으로 인한 해의 낮은 정(regularity) 문제를 다루기 위해.
• 다항수준 $p$에 대해 $"]\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-일치 보간 연산자를 구축하여 다항수준에 대한 준안정성을 보장하기 위해.
• 기존의 $p$-버전 분석을 초월하여 전체 $hp$-버전으로 확장하고, 이는 $h$-버전을 특수한 경우로 포함함으로써.
• 비압축 다각형 및 곡선 메쉬에 대한 $hp$-BEM의 사전 오차 추정 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 분석은 EFIE의 Rumsey의 변분형식과 에너지 공간의 Helmholtz 분해를 기반으로 한다.
• 기본 정사각형 요소에서 새로운 $"]\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-일치 보간 연산자 $"]\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$ 가 구축된다.
• 이 연산자는 내적의 명시적 표현을 사용하여 발산 성분에 대한 $"]\tilde{H}^{-1/2}$-투영을 통해 정의된다.
• 이전 연구에서 확립된 이산 inf-sup 조건을 이용하여 다항수준에 대한 보간 연산자의 안정성을 증명한다.
• 다항수준 $p$에 대해 균일한 유계를 도출하기 위해 척도 변환 기법을 사용한다.
• 수렴 결과는 이산 분해가 $hp$-BEM 프레임워크에서 준최적성에 필요한 조건을 만족함을 보여줌으로써 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준균일 메쉬를 사용한 $hp$-BEM이 다면체 표면에서 낮은 정(regularity) 해를 가진 EFIE에 대해 준최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 다항수준 $p$ 증가에 대해 $"]\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-일치 보간 연산자가 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 Helmholtz 분해 프레임워크는 준균일 메쉬를 사용한 $hp$-버전에서 이산 수직성과 안정성을 확보하기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 비표준 보간 연산자의 사용이 다면체 표면에서 기존의 Raviart-Thomas 연산자의 불안정성을 극복하는가?
• RQ5 수렴 결과는 비압축 다각형 및 곡선 메쉬로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 준균일 메쉬를 사용한 $hp$-BEM은 조각별 평면 다면체 표면에서 EFIE에 대해 준최적 수렴성을 보인다.
• 수렴 속도는 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\left(\frac{h}{p}\right)^{\min\{s^*,\frac{1}{2}\}-\varepsilon}$로 유계이며, 여기서 $s^*$는 해의 정(regularity) 지수이다.
• 제안된 $"]\tilde{\mathbf{H}}^{-1/2}({\mathrm{d}iv}}$-일치 보간 연산자 $"]\Pi_p^{\mathrm{div},-1/2}$ 는 다항수준 $p$에 대해 준안정성을 보인다.
• 분석은 이전에 [9]에서 확립된 이산 inf-sup 조건에 기반하며, 에너지 노름에서 보간의 안정성을 보장한다.
• 수렴 결과는 압축 및 비압축 다각형 요소, 포함하여 볼록 및 곡선 요소 모두에 대해 성립한다.
• 이 방법은 [8]에서의 $p$-버전 수렴 결과를 전체 $hp$-버전으로 확장하며, 동일한 수렴 속도 구조를 유지한다.