[논문 리뷰] On the correction to Einstein's formula for the effective viscosity

David Gérard‐Varet, Amina Mecherbet|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 12.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 희박한 구형 입자 분산계에서 아인슈타인의 효과적 점성도 공식에 대해 조건 없이 $ o(\lambda^2) $ 보정을 수립한다. 평균장 근사에서 두 번째 순서의 점성도 보정 $ \mu_2(x)\lambda^2 $ 가 존재한다는 것을 증명함으로써, 이전의 조건부 결과를 주기적 및 무작위 정적 배열을 포함한 일반적인 입자 배열로 확장하며, 동질화 이론과 보정자 이론을 통해 $ \mu_2 $ 를 명시적으로 계산한다.

ABSTRACT

This paper is a follow-up of article [6], on the derivation of accurate effective models for viscous dilute suspensions. The goal is to identify an effective Stokes equation providing a $o(\\lambda^2)$ approximation of the exact fluid-particle system, with $\\lambda$ the solid volume fraction of the particles. This means that we look for an improvement of Einstein's formula for the effective viscosity in the form $\\mu_{eff}(x) = \\mu + \\frac{5}{2} \\mu \ ho(x) \\lambda + \\mu_2(x) \\lambda^2$. Under a separation assumption on the particles, we proved in [6] that if a $o(\\lambda)^2$ Stokes effective approximation exists, the correction $\\mu_2$ is necessarily given by a mean field limit, that can then be studied and computed under further assumptions on the particle configurations. Roughly, we go here from the conditional result of [6] to an unconditional result: we show that such a $o(\\lambda^2)$ Stokes approximation indeed exists, as soon as the mean field limit exists. This includes the case of periodic and random stationary particle configurations.

연구 동기 및 목표

• 희박한 점성 유체 분산계에 대해 $ o(\lambda^2) $ 정확도를 갖는 효과적 스토크스 방정식을 유도하는 것.
• 고전적인 $ o(\lambda) $ 근사 이외에 아인슈타인 공식 $ \mu_{\text{eff}} = \mu + \frac{5}{2}\mu\lambda + \mu_2\lambda^2 $ 에 대한 두 번째 순서 보정 $ \mu_2(x)\lambda^2 $ 를 식별하는 것.
• 보정자 방정식의 평균장 극한이 존재할 경우, 그러한 $ o(\lambda^2) $ 근사가 조건 없이 존재한다는 것을 증명하는 것.
• 주기적 및 무작위 정적 배열을 포함한 입자 배열에 대해 $ \mu_2(x) $ 를 약한 조건 하에 명시적으로 계산하는 것.
• 이전의 조건부 결과를 보정자 극한의 수렴과 연결함으로써 조건 없이 존재성을 확장하는 것.

제안 방법

• 입자 표면에서의 슬립 조건 및 토크가 없는 조건을 갖는 스토크스 문제로 유체-입자 시스템을 수식화하는 것.
• 동질화 기법을 사용하여 공간적으로 변화하는 효과적 점성도 $ \mu_{\text{eff}}(x) = \mu + \mu_1\lambda + \mu_2\lambda^2 $ 를 갖는 효과적 스토크스 방정식을 유도하는 것.
• 보정자 방정식의 평균장 극한에 의존하여 $ \mu_2(x) $ 를 정의하며, 입자 간격과 밀도 수렴 가정 하에 수렴을 보장하는 것.
• 크기 있는 영역에서 보정자의 극한을 분석하기 위해 척도 조정 및 주기적 근사 기법을 적용하는 것.
• 특이점과 경계 효과를 다루기 위해 그린 함수 $ G_{S,1} $ 의 적분 및 주기적 분해를 사용하는 것.
• 반경 함수 $ r $ 와 관련된 두 점 상관 적분의 수렴성을 확립하여, $ \mu_2 $ 가 입자 분포의 평균장 극한에 의해 결정됨을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 배열에 대한 조건 없이 아인슈타인의 $ o(\lambda) $ 공식 이외에 $ o(\lambda^2) $ 효과적 점성도 근사가 존재하는가?
• RQ2 보정자 방정식의 평균장 극한으로부터 두 번째 순서 보정 $ \mu_2(x) $ 가 명시적으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 보정자 극한이 존재할 경우, $ o(\lambda^2) $ 근사의 존재성이 조건 없이 성립하는가?
• RQ4 입자 기하학 및 공간 분포의 구조, 특히 비주기적, 무작위 구성에서 $ \mu_2(x) $ 는 어떻게 달라지는가?
• RQ5 반경 상관 함수 $ r $ 이 효과적 점성도의 두 번째 순서 보정을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 보정자 극한이 존재할 경우, 조건 없이 $ o(\lambda^2) $ 효과적 스토크스 근사가 존재한다.
• 두 번째 순서 보정 $ \mu_2(x) $ 는 입자 배열에 대한 약한 조건 하에서 명시적으로 계산할 수 있는 평균장 극한으로 주어진다.
• 주기적 및 무작위 정적 입자 배열, 하드코어 포아송 과정을 포함한 경우, 평균장 극한이 존재하며 잘 정의된 $ \mu_2(x) $ 를 제공한다.
• 보정 $ \mu_2(x) $ 는 스칼라가 아니며, 입자 분포의 추적 자유 대칭 텐서 구조에 의존한다.
• $ r $ 과 그린 함수를 포함하는 두 점 상관 적분의 극한은 $ \frac{m^2}{5}|S|^2 $ 로 수렴하며, 이는 $ \mu_2 $ 의 구조를 확인한다.
• 결과는 아인슈타인 공식을 두 번째 차수로 일반화하여, 희박한 분산계에서 고차 효과적 점성도 모델의 엄밀한 기반을 제공한다.