[논문 리뷰] On the Cox ring of blowing up the diagonal

Hendrik Bäker|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 프로젝티브 공간의 곱과 $\mathbb{P}^1$-곱에서 대각선에 沿해 행해지는 블로우업의 코크 링크를 계산하며, 왜곡된 플루커 관계에 의해 모odulo되는 등급 다항식 대수를 통한 명시적 표현을 제공한다. 유한 생성성을 확립하고, 그 총좌표 공간이 그라스만이안 다양체와 선형 부분공간의 교차로 기하학적으로 실현됨을 보여준다.

ABSTRACT

We compute the Cox rings of the blow-ups $\mathrm{Bl}_Δ(X' imes X')$ and $\mathrm{Bl}_Δ(\mathbb P_1^n)$ where $X'$ is a product of projective spaces and $Δ$ is the (generalised) diagonal.

연구 동기 및 목표

• 제품인 $X' \times X'$의 대각선에 沿해 블로우업한 코크 링크를 계산하는 것, 여기서 $X'$는 프로젝티브 공간의 곱이다.
• 일반화된 대각선에 따라 $\mathbb{P}_1^n$의 블로우업에 대한 코크 링크의 유한 생성성을 확립하는 것.
• 이러한 코크 링크의 생성자와 관계에 기반한 명시적 표현을 제공하는 것.
• 이러한 블로우업의 총좌표 공간이 아핀 그라스만이안 다양체와 선형 부분공간의 교차로 나타남을 보여주는 것.
• 토닉 및 구면 다양체에서의 기법을 $\mathbb{P}_1^n$과 같은 비구면 사례로 확장하는 것.

제안 방법

• 정규 다양체에서 유한 생성된 분류군을 가진 경우에 적용 가능한 코크 구성과 총좌표 공간 프레임워크를 사용한다.
• 확장된 임베딩 기법을 적용: 정의 방정식에 대응하는 변수들을 추가하여 원래 다양체를 더 큰 토닉 다양체로 임베딩한다.
• 원소 $X' \times X'$에 대해 $\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}$-등급과 $\mathbb{P}_1^n$에 대해 $\mathbb{Z}^{n+1}$-등급을 도입하며, 분류군의 구조에 따라 생성자에 등급을 할당한다.
• 왜곡된 플루커 관계를 정의 아이디얼로 사용: $0 \leq i < j < k < l \leq n_r + 2$ 인 경우, $T_{ij}T_{\infty} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk}$ 와 $T_{ij}T_{kl} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk}$.
• 정의 아이디얼이 소임을 입증하기 위해 나카야마의 보조정리와 소수성 기준을 적용하여 코크 링크가 도메인임을 보장한다.
• 임베딩에 따른 아이디얼의 끌어올림과 제약 과정을 통해 블로우업을 기존의 토닉 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제품인 $X' \times X'$의 대각선에 대해 블로우업한 코크 링크의 구조는 어떻게 되는가? 여기서 $X'$는 프로젝티브 공간의 곱이다.
• RQ2 $\mathbb{P}_1^n$의 일반화된 대각선에 대해 블로우업한 코크 링크의 경우, 그 유한 생성성과 표현은 어떻게 되는가?
• RQ3 이러한 블로우업의 총좌표 공간은 그라스만이안 다양체와 선형 부분공간의 교차로 기술될 수 있는가?
• RQ4 블로우업과 확장 후에 정의 아이디얼이 소가 되는 조건은 무엇인가? 특히 그러한 경우에 대해.
• RQ5 $\mathbb{P}_1^n$과 같은 비구면 사례에서, 분류군과 등급은 블로우업 구조에 어떻게 영향을 받는가?

주요 결과

• 코크 링크 $\mathrm{Bl}_{\Delta_X}(X' \times X')$ 는 $R_X / I_X$ 와 동형이며, 여기서 $R_X = \mathbb{K}[T_\infty, {}_rT_{ij}]$ 이고 $I_X$ 는 왜곡된 플루커 관계에 의해 생성된다.
• 코크 링크 $\mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n)$ 은 $R_Y / I_Y$ 와 동형이며, 여기서 $R_Y = \mathbb{K}[S_{ij}]$ 이고 $I_Y$ 는 $n+2$개의 변수에 대한 고전적 플루커 관계의 아이디얼이다.
• 등급 $R_X / I_X$ 는 명시적으로 주어진다: $\deg(T_\infty) = (0,0,1)$, $\deg({}_rT_{ij}) = (e_r,0,0)$ if $j = n_r+1$, $(0,e_r,0)$ if $j = n_r+2$, 그 외의 경우 $(e_r,e_r,-1)$.
• 등급 $R_Y / I_Y$ 는 $\deg(S_{ij}) = e_i$ if $j = n+1,n+2$ and $i \leq n$, $e_{n+1}$ if $i = n+1, j = n+2$, 그 외의 경우 $e_i + e_j - e_{n+1}$.
• 정의 아이디얼 $I_X$ 는 소이며, $I_X + \langle T_\infty \rangle$ 의 소성과 등급 나카야마 보조정리의 적용을 통해 입증된다.
• $\mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n)$ 의 코크 링크는 다항식 대수의 몫의 스펙트럼으로 실현되며, 특정한 $\mathbb{Z}^{n+1}$-등급이 블로우업의 분류군을 반영한다.