[논문 리뷰] On the Cross-Correlation of a $p$-ary m-Sequence and its Decimated Sequences by $d=\frac{p^n+1}{p^k+1}+\frac{p^n-1}{2}$

Sung-Tai Choi, Ji-Youp Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p ≡ 3 mod 4, n이 홀수이며 k|n인 조건에서, d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2로 정의된 p-진 m-시퀀스와 그 디케이메이션된 시퀀스와 관련된 지수합 S(a,b)의 값 분포를 유도한다. 이 결과를 바탕으로 주기 N = pⁿ−1, 가족 크기 pⁿ인 시퀀스 가족을 구성하며, 교차상관관계 크기의 상한이 (pᵏ+1)√N/2임을 확보하고, 차원 2n인 𝔽ₚ 위의 순환부호의 무게 분포를 규명한다. 이는 이전에 샤오(Xia)가 제시한 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, for an odd prime $p$ such that $p\equiv 3\bmod 4$, odd $n$, and $d=(p^n+1)/(p^k+1)+(p^n-1)/2$ with $k|n$, the value distribution of the exponential sum $S(a,b)$ is calculated as $a$ and $b$ run through $\mathbb{F}_{p^n}$. The sequence family $\mathcal{G}$ in which each sequence has the period of $N=p^n-1$ is also constructed. The family size of $\mathcal{G}$ is $p^n$ and the correlation magnitude is roughly upper bounded by $(p^k+1)\sqrt{N}/2$. The weight distribution of the relevant cyclic code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_p$ with the length $N$ and the dimension ${ m dim}_{\mathbb{F}_p}\mathcal{C}=2n$ is also derived. Our result includes the case in \cite{Xia} as a special case.

연구 동기 및 목표

• 특정 디케이메이션 인자 d에 대해 지수합 S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ)의 값 분포를 결정하는 것.
• 주기 N = pⁿ−1이고 낮은 교차상관관계 성질을 가지는 시퀀스 가족 𝒢를 구성하는 것.
• 길이 N와 차원 2n인 𝔽ₚ 위의 순환부호 𝒞의 무게 분포를 유도하는 것.
• 특수한 d 값에 대해 샤오(Xia)의 이전 결과를 일반화하는 것.
• 구축된 시퀀스 가족 내 교차상관관계 값의 최대 크기 상한을 설정하는 것.

제안 방법

• 유한체 위의 이차형식 이론을 활용하여 지수합 S(a,b)를 분석하며, 특히 관련 대칭행렬의 질량과 구조에 중점을 둔다.
• 갈루아 이론과 가우스 합의 성질을 적용하며, 특히 레이지드 색소와 ℚ(ω)의 이차부분체 ℚ(√p*)을 활용한다. 여기서 ω = e²πi/p이다.
• 트레이스 함수 tr₁ⁿ(⋅)과 표준加법적 특성 χ(⋅) = ω^{tr₁ⁿ(⋅)}를 사용하여 교차상관관계를 S(a,b)로 표현한다.
• μ(S(a,b)) = ∑_{l=1}^{p−1} σ_l(S(a,b))의 변환을 통해 순환부호 𝒞의 코드워드의 해밍 무게를 계산한다.
• S(a,b)의 각 서로 다른 값에 대해 μ(S(a,b))를 계산함으로써 무게 분포를 도출하며, ω와 √p*에 대한 갈루아 군의 작용을 활용한다.
• S(a,b) 값의 크기를 분석하고 알려진 지수합 상한을 적용함으로써 교차상관관계의 상한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2일 때 지수합 S(a,b) = ∑ₓ∈𝔽ₚₙ χ(ax + bxᵈ)의 값 분포는 무엇인가요?
• RQ2 이 디케이메이션으로부터 유도된 시퀀스 가족 𝒢의 최대 교차상관관계 크기는 얼마인가요?
• RQ3 길이 pⁿ−1, 차원 2n인 𝔽ₚ 위의 순환부호 𝒞의 무게 분포는 무엇인가요?
• RQ4 유도된 결과는 d = (pⁿ+1)/(p+1) + (pⁿ−1)/2인 경우에 대해 샤오(Xia)의 이전 작업과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ5 디케이메이션 인자 d의 복잡성에도 불구하고 S(a,b)의 값 분포는 효율적으로 계산될 수 있나요?

주요 결과

• d = (pⁿ+1)/(pᵏ+1) + (pⁿ−1)/2일 때 S(a,b)의 값 분포가 완전히 규명되었으며, 네 가지의 서로 다른 값: 0, ±j p^{n/2}, ±j (pᵏ+1)/2 p^{n/2}, 및 pⁿ을 가진다.
• 시퀀스 가족 𝒢는 가족 크기 pⁿ이며, 최대 교차상관관계 크기의 상한이 (pᵏ+1)√N/2로 상한이 설정되며, 여기서 N = pⁿ−1이다.
• 순환부호 𝒞의 무게 분포는 명시적으로 계산되었으며, w₀ = 1, w_{p^{n-1}(p−1)} = (pⁿ−1)(pⁿ−2p^{n−k}+1), w_{(p−1)(p^{n−1}+½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}−p^{(n−k)/2}), w_{(p−1)(p^{n−1}−½p^{(n+k)/2−1})} = (pⁿ−1)(p^{n−k}+p^{(n−k)/2})이다.
• 무게 분포는 갈루아 군의 작용에 의한 가우스 합과 μ-맵에 따른 S(a,b)의 트레이스를 활용하여 도출되었다.
• 결과는 샤오(Xia)의 작업을 일반화하며, k=1일 경우 동일한 d와 결과를 얻는다.
• 지수합 S(a,b)는 비영인 값에서 최대 크기 (pᵏ+1)/2 × p^{n/2}를 가지며, 이는 직접적으로 상관관계 상한을 결정한다.