[논문 리뷰] On the Curling Number of Certain Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 차수 수열에서 최대 부분수열을 분석하여 그래프의 코일링 수와 복합 코일링 수를 도입하며, 연결 단순 그래프에 대해 코일링 수 추측이 성립함을 증명하고, 집합 그래프와 자코 그래프에 대해 정확한 공식을 유도한다. 주요 결과로는 집합 그래프의 코일링 수가 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$이고, 복합 코일링 수가 $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$임을 보이며, 이는 $n$이 홀수일 때에만 완전 제곱수임을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of curling subsequence of simple, finite and connected graphs. A curling subsequence is a maximal subsequence $C$ of the degree sequence of a simple connected graph $G$ for which the curling number $cn(G)$ corresponds to the curling number of the degree sequence per se and hence we call it the curling number of the graph $G$. A maximal degree subsequence with equal entries is called an identity subsequence. The number of identity curling subsequences in a simple connected graph $G$ is denoted $ic(G).$ We show that the curling number conjecture holds for the degree sequence of a simple connected graph $G$ on $n \geq 1$ vertices. We also introduce the notion of the compound curling number of a simple connected graph $G$ and then initiate a study on the curling number of certain standard graphs like Jaco graphs and set-graphs.

연구 동기 및 목표

• 단순 유한 연결 그래프의 차수 수열로 코일링 수 개념을 정수 수열에서 확장하기.
• 코일링 부분수열, 코일링 수, 동일 코일링 부분수열, 코일링 지수, 복합 코일링 수와 같은 새로운 그래프 파라미터를 정의하고 분석하기.
• 코일링 수 추측이 그래프 차수 수열의 맥락에서 타당한지 조사하기.
• 특히 집합 그래프와 자코 그래프에 대해 표준 그래프 가족의 코일링 수와 복합 코일링 수를 결정하기.
• 특히 집합 그래프에 대해 이러한 새로운 그래프 파라미터의 수론적 성질 탐구하기.

제안 방법

• 코일링 수가 최대인 최대 부분수열을 코일링 부분수열로 정의한다.
• 그래프의 코일링 수를 코일링 부분수열의 코일링 수로 정의한다.
• 각 서로 다른 차수의 빈도의 곱으로 복합 코일링 수를 정의한다.
• 특히 집합 그래프에서 동일한 부분집합의 기수를 가진 정점들이 동일한 차수를 가짐을 이용해, 차수 수열의 조합 분석을 수행한다.
• 이차계승계수와 하이퍼팩토리얼에 대한 기존 결과를 적용하여 복합 코일링 수의 닫힌 표현식을 도출한다.
• 등식 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$을 활용하여 복합 코일링 수의 제곱성 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 단순 연결 그래프의 차수 수열에 대해 코일링 수 추측이 성립하는가?
• RQ2 크기가 $n$인 유한 집합 $A^{(n)}$에 대해 집합 그래프 $G_{A^{(n)}}$의 코일링 수는 무엇인가?
• RQ3 집합 그래프의 복합 코일링 수는 무엇이며, 언제 완전 제곱수가 되는가?
• RQ4 동일한 코일링 수와 복합 코일링 수를 가진 비정규 그래프가 존재할 수 있으며, 만약 존재한다면 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 스패닝 부분그래프의 코일링 수와 복합 코일링 수는 원래 정규 그래프와 비교하여 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 단순 유한 연결 그래프 $G$에 대해 $n \geq 1$ 개 정점이 있을 때, 코일링 수 추측이 성립한다.
• 집합 그래프 $G_{A^{(n)}}$의 코일링 수는 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$이며, 이는 $n$에 대해 가장 큰 이항계수이다.
• 집합 그래프 $G_{A^{(n)}}$의 복합 코일링 수는 $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$이며, 이는 $\frac{1}{(n!)^{n+1}} \left( \prod_{i=1}^n i^i \right)^2 - 1$ 와 같다.
• 집합 그래프의 복합 코일링 수는 $n$이 홀수 정수일 때에만 완전 제곱수가 된다.
• 그래프 $G$의 코일링 부분수열의 수는 $ic(G) = 1$ 이면 $1$이며, 그 외에는 $ic(G) + ic(G)!$ 이다.
• 차수 수열 $(3,5,3,3,5,5,6)$에 대해 코일링 수는 $3$이며, $(3,3,3)$, $(5,5,5)$, $(3,5,3,5,3,5)$, $(5,3,5,3,5,3)$와 같은 부분수열을 통해 달성된다.