[논문 리뷰] On the curvature of tensor product connections and covariant differentials

Josef Janyška|ArXiv.org|2003. 04. 03.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 동일한 기저 다성분 위의 두 선형 접속의 텐서곱 접속의 곡률의 좌표 공식과 기하적 기술을 유도한다. 벡터 다성분 위의 선형 접속과 기저 다성분 위의 대칭 선형 접속을 사용하여 텐서 장에 대한 일반화된 공변 미분을 정의하고, 일반화된 비앙키 항등식을 증명하며, 두 접속의 곡률 텐서를 통해 두 번째 계수 공변 미분의 반대칭화가 표현될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We give coordinate formula and geometric description of the curvature of the tensor product connection of linear connections on vector bundles with the same base manifold. We define the covariant differential of geometric fields of certain types with respect to a pair of a linear connection on a vector bundle and a linear symmetric connection on the base manifold. We prove the generalized Bianchi identity for linear connections and we prove that the antisymmetrization of the second order covariant differential is expressed via the curvature tensors of both connections.

연구 동기 및 목표

• 동일한 기저 다성분 위의 두 선형 접속의 텐서곱 접속의 곡률에 대한 좌표 공식과 기하적 기술을 제공하는 것.
• 벡터 다성분, 그 쌍대, 그리고 접선/코접선 다성분의 텐서곱의 단면인 기하 장에 대한 공변 미분을 정의하는 것 — 이는 다성분 위의 선형 접속과 기저 다성분 위의 대칭 선형 접속을 사용한다.
• 고전적 비앙키 항등식을 선형 접속의 설정으로 일반화하고, 두 번째 계수 공변 미분의 반대칭화가 두 접속의 곡률 텐서에 의해 결정됨을 증명하는 것.
• 텐서곱 접속의 곡률과 개별 접속의 곡률 간의 정확한 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 선형 접속의 곡률를 수직 벡터다발 값의 수직 2형식으로 정의하기 위해 프뢰리히러-니헨하이스 브라켓을 사용한다.
• 접속 계수 $K_j^i{}_{\lambda}$와 그 도함수를 포함하는 좌표 표현을 사용하여, 텐서곱 접속 $K \otimes K'$의 곡률를 $K$와 $K'$의 곡률로 표현한다.
• 벡터 다성분 위의 선형 접속 $K$와 기저 다성분 위의 대칭 선형 접속 $\Gamma$를 조합한 혼합 공변 미분 $\nabla = \nabla^{(K,\Gamma)}$를 도입한다.
• 고차 공변 도함수를 유도하기 위한 기초 도구로 일반화된 비앙키 항등식 $[K, R[K]] = 0$을 적용한다.
• 형식 $(p,r)_{q,s}$의 텐서 장 $\Phi$에 대한 두 번째 계수 공변 미분 $\nabla^2\Phi$의 좌표 표현을 사용하며, 이는 $K$와 $\Gamma$ 접속을 모두 포함한다.
• 두 번째 계수 공변 미분에 반대칭화 $\operatorname{Alt}$를 적용하고, 그 표현을 $K$와 $\Gamma$의 곡률 텐서로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서곱 접속 $K \otimes K'$의 곡률는 $K$와 $K'$의 곡률로 좌표상과 기하적으로 어떻게 표현되는가?
• RQ2 벡터 다성분, 그 쌍대, 그리고 접선/코접선 다성분의 텐서곱으로 구성된 텐서 장에 대해, 다성분 위의 선형 접속과 기저 다성분 위의 대칭 접속을 갖는 경우, 공변 미분의 구조는 어떠한가?
• RQ3 선형 접속의 곡률 텐서의 공변 미분에 대해 일반화된 비앙키 항등식이, 기저 다성분 위의 대칭 접속과 결합된 설정에서 성립하는가?
• RQ4 두 번째 계수 공변 미분의 반대칭화는 기저 접속의 곡률 텐서와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 텐서곱 접속 $K \otimes K'$의 곡률는 $K$와 $K'$의 곡률에 의해 완전히 결정되며, 좌표 표현은 $R[K \otimes K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} = R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} + R[K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu}$로 주어진다.
• 일반화된 비앙키 항등식이 성립한다: $R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu;\nu} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\mu\nu;\lambda} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\nu\lambda;\mu} = 0$, 여기서 세미콜론은 접속 $\nabla^{(K,\Gamma)}$에 대한 공변 도함수를 나타낸다.
• 텐서 장 $\Phi$의 두 번째 계수 공변 도함수의 반대칭화는 $\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[\Gamma^p_q \otimes K^r_s] \circ \Phi$로 표현되며, 이는 결과를 텐서곱 접속의 곡률로 표현한다.
• 단면 $\Phi = \phi^i \mathbf{b}_i$에 대해, 반대칭화된 두 번째 공변 도함수는 $\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\mu} \phi^j \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu$로 주어진다.
• 곡률 텐서 $R[K]$의 두 번째 공변 도함수는 $\operatorname{Alt}\nabla^2 R[K] = -\frac{1}{2} \big( R[K]_p{}^i{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^p{}_{\lambda\mu} - R[K]_j{}^p{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_p{}^i{}_{\lambda\mu} - R[\Gamma]_\lambda{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\omega\mu} - R[\Gamma]_\mu{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\omega} \big) \mathbf{b}^j \otimes \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu \otimes d^{\nu_1} \wedge d^{\nu_2}$를 만족한다.
• 만약 $p = q = 0$이면, 공변 미분 $\nabla\Phi$는 고전적 대칭 접속 $\Gamma$에 대한 $(r,s)$-텐서 장의 표준 공변 도함수로 축소되며, 고전적 미분기하학과의 일관성을 확인한다.