[논문 리뷰] On the cutoff frequency of clarinet-like instruments. Geometrical versus acoustical regularity

Elise Moers, Jean Kergomard|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 25.

Music Technology and Sound Studies참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 클래리넷 유사 악기의 음향적 규칙성을 조사하며, T자 형태의 세포가 동일한 고유진동수를 가지는 '음향적으로 규칙적인 격자'를 정의함으로써, 기하학적 비규칙성에도 불구하고 캐릭터리스틱 주파수(cutoff frequency)가 거의 일정하게 유지되는 이유를 설명한다. 비균일한 구멍 간격과 반지름이 존재하더라도, 구멍의 반지름과 간격이 배관 끝 쪽으로 갈수록 증가함에 따라 고유진동수가 상대적으로 일정하게 유지됨을 보여주며, 벤데의 경험적 캐릭터리스틱 주파수 이론과 실제 악기의 기하학적 비규칙성 간의 모순을 해소한다.

ABSTRACT

A characteristic of woodwind instruments is the cutoff frequency of their tone-hole lattice. Benade proposed a practical definition using the measurement of the input impedance, for which at least two frequency bands appear. The first one is a stop band, while the second one is a pass band. The value of this frequency, which is a global quantity, depends on the whole geometry of the instrument, but is rather independent of the fingering. This seems to justify the consideration of a woodwind with several open holes as a periodic lattice. However the holes on a clarinet are very irregular. The paper investigates the question of the acoustical regularity: an acoustically regular lattice of tone holes is defined as a lattice built with T-shaped cells of equal eigenfrequencies. Then the paper discusses the possibility of division of a real lattice into cells of equal eigenfrequencies. It is shown that it is not straightforward but possible, explaining the apparent paradox of Benade's theory. When considering the open holes from the input of the instrument to its output, the spacings between holes are enlarged together with their radii: this explains the relative constancy of the eigenfrequencies.

연구 동기 및 목표

• 클래리넷 유사 악기의 캐릭터리스틱 주파수가 기하학적 비규칙성에도 불구하고 심지어 손가락 위치에 따라 거의 변하지 않는다는 모순을 해결하기 위해.
• 기하학적 주기성 없이도 T자 형태의 세포들이 동일한 고유진동수를 가지는 '음향적 규칙성'을 정의하고 분석하기 위해.
• 비주기적, 유한하고 손실이 있는 구멍 격자에서 전역적인 캐릭터리스틱 주파수를 의미 있게 정의하고 일정하게 유지할 수 있는지 조사하기 위해.
• 기하학적 매개변수(구멍 간격, 반지름)와 고유진동수 간의 관계를 분석하여 캐릭터리스틱 주파수의 일정성을 설명하기 위해.

제안 방법

• 기하학적 주기성 대신 T자 형태의 세포의 동일한 고유진동수를 기반으로 '음향적으로 규칙적인 격자'를 정의하기 위해.
• T자 형태의 세포를 위한 전이 행렬 방법을 사용하며, 연속 임피던스(Z_a)와 병렬 어드미ittance(Y)를 도입하여 구멍의 음향을 모델링하기 위해.
• 행렬 계수 B와 C를 사용하여 T세포의 특성 임피던스를 유도하고, 계수 C의 첫 번째 인자가 0이 되는 조건을 통해 캐릭터리스틱 주파수를 분석하기 위해.
• 이전 모델에서 사용된 근사치를 피하기 위해, 연속 및 병렬 요소를 모두 고려한 정확한 캐릭터리스틱 주파수 표현식을 적용하기 위해.
• B♭ 클래리넷의 측정된 배관 및 구멍 매개변수를 분석하여 고유진동수를 계산하고, 다양한 손가락 위치에서의 규칙성 수준을 평가하기 위해.
• 임피던스 안정성을 평가하기 위해 비율 (1 + m_a/2m)/S²을 사용하며, 작은 음성 질량 항(m_a)이 결과에 큰 영향을 주지 않음을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적으로 비규칙한 구멍을 가진 클래리넷에서 전역적으로 안정된 캐릭터리스틱 주파수가 존재할 수 있는가?
• RQ2 비주기적 구멍 격자에서 '음향적 규칙성'은 무엇으로 정의되는가?
• RQ3 구멍 간격과 반지름의 변화는 캐릭터리스틱 주파수의 일정성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 실제 비주기적 목금속 악기에는 주기적 매체의 가정이 어느 정도 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 클래리넷의 캐릭터리스틱 주파수는 배관 끝 쪽으로 갈수록 구멍 간격과 반지름이 증가함에 따라 T자 형태의 세포 고유진동수가 안정되어 거의 일정하게 유지되며, 이로 인해 다양한 손가락 위치에서도 주파수가 거의 변하지 않는다.
• 기하학적 주기성이 없더라도 T자 형태의 세포들이 동일한 고유진동수를 가지면 음향적으로 규칙적인 격자로 정의할 수 있으며, 이는 벤데 이론의 모순을 해결한다.
• 입력 임피던스 측정에서 유도된 전역 캐릭터리스틱 주파수는 첫 번째 구간이 캐릭터리스틱 행동을 지배하므로 기하학적 비규칙성에 대해 강건하다.
• 전이 행렬 모델에 음성 질량(Z_a)을 포함시킴으로써 이전의 근사치보다 더 정확한 캐릭터리스틱 주파수 표현식을 도출할 수 있었다.
• 비율 (1 + m_a/2m)/S²가 모든 구멍에서 거의 일정하게 유지됨을 통해 특성 임피던스가 안정되어 있으며, 이는 음향적 규칙성 개념을 지지한다.
• 심지어 기하학적 변형이 크더라도 T세포의 고유진동수는 상대적으로 일정하게 유지되며, 이는 실제 악기에서 관측된 캐릭터리스틱 주파수의 일정성과 일치한다.