[논문 리뷰] On the Davenport-Heilbronn theorems and second order terms

Manjul Bhargava, Arul Shankar외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 삼차 수체와 2차 환의 3-torsion에서 Davenport–Heilbronn 정리의 두 번째 항에 대한 Roberts의 추측을 증명하며, 명시적인 상수를 가진 정확한 $X^{5/6}$ 보조 주요 항을 확립한다. 이는 유한한 소수에서의 합동 조건을 만족하는 이항 삼차 형식을 세는 데 새로운 접근법을 사용하여, 거듭제곱 감소 오차 항을 가진 점근 공식을 도출함으로써, 대수적 수론에서 고전적인 세기 문제에 있어서 오차 항의 크기와 형태에 대한 오랫동안 남아 있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

We give simple proofs of the Davenport--Heilbronn theorems, which provide the main terms in the asymptotics for the number of cubic fields having bounded discriminant and for the number of 3-torsion elements in the class groups of quadratic fields having bounded discriminant. We also establish second main terms for these theorems, thus proving a conjecture of Roberts. Our arguments provide natural interpretations for the various constants appearing in these theorems in terms of local masses of cubic rings.

연구 동기 및 목표

• 유계 판별식을 가진 삼차 수체의 수에 대한 Davenport–Heilbronn 점근 공식에서 정확한 두 번째 항을 결정하는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하는 것.
• Roberts의 추측을 확인함으로써, 2차 수체의 환의 3-torsion 합에 대한 대응되는 두 번째 항을 확립하는 것.
• 임의의 합동 조건을 만족하는 이항 삼차 형식을 세는 데 새로운 방법을 개발하여, 이러한 세기 문제에서 보조 항을 도출할 수 있도록 하는 것.
• 원래의 Davenport–Heilbronn 정리와 Davenport의 이항 삼차 형식 판별식에 관한 정리를 더 단순하고 직접적인 방법으로 증명하는 것.
• 예전에 전형적 벡터 공간 위의 제타 함수를 통해 얻어진 바 있었던 Davenport–Shintani 정리의 두 번째 주요 항을 원시적인 방법으로 유도하는 것.

제안 방법

• 유한 개의 소수에서 주어진 합동 조건을 만족하는 ${\rm GL}_2(\bbZ)$-동치류로 이루어진 기약 정수 계수 이항 삼차 형식을 세는 데 새로운 방법을 도입한다.
• p진 적분과 이항 삼차 형식 공간 위의 불변 측도를 사용하여 국소 밀도를 계산하며, 특히 원시 벡터 위에서 $|a(f)|_p^{-2/3}$의 $p$-진 적분에 중점을 둔다.
• 각 소수 $p$에 대해, 각 이소모르피즘 클래스의 삼차 환의 기여를 압축하는 국소 밀도 $\nu_p(R)$ 및 $\nu_p^{(2)}(R)$의 명시적 공식을 유도한다.
• 원주법과 절삭 기법을 적용하여 삼차 수체의 전반적 세기와 이러한 형식의 수를 연결하며, 지수 합 추정을 통해 오차 항을 제어한다.
• 예비형 벡터 공간 이론과 제타 함수를 간소화되고 더 접근하기 쉬운 형태로 활용하여 Shintani의 Davenport–Shintani 정리에 대한 두 번째 주요 항을 복원한다.
• 세기 과정의 오차 분석을 정교화하여 $O_\rho(X^{5/6 - 1/48 + \rho})$ 정도의 거듭제곱 감소 오차 항을 확립함으로써 이전의 경계를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 판별식을 가진 삼차 수체의 점근 세기에서 주요 항 $X/\big(12\theta(3)\big)$ 이외에 정확한 두 번째 항은 무엇인가?
• RQ2 2차 환의 3-torsion에 대한 Davenport–Heilbronn 정리에서 추측된 $X^{5/6}$ 보조 항은 엄밀하게 증명될 수 있는가?
• RQ3 점근 공식에서 두 번째 항을 유지하면서 주어진 합동 조건을 만족하는 이항 삼차 형식을 세는 방법은 무엇인가?
• RQ4 유계 판별식을 가진 이항 삼차 형식의 수에 대한 Davenport–Shintani 정리에서 정확한 두 번째 항은 무엇인가?
• RQ5 이러한 세기 문제에서 두 번째 주요 항을 전형적 벡터 공간 위의 제타 함수의 전체 기계장치를 피하는 원시적인 방법으로 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 판별식이 $0 < \text{Disc}(K) < X$인 삼차 수체 $K$의 수는 점근적으로 $\frac{1}{12\zeta(3)}X + \frac{4\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3\zeta(5/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$이다.
• 판별식이 $-X < \text{Disc}(K) < 0$인 삼차 수체의 수는 점근적으로 $\frac{1}{4\zeta(3)}X + \frac{\sqrt{3} \cdot 4\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3\zeta(5/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$이다.
• $0 < D < X$인 $D$에 대해 $|\text{Cl}_3(D)|$의 합은 $\frac{4}{3} \sum_{0<D<X} 1 + \frac{8\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3} \prod_p \left(1 - \frac{p^{1/3} + 1}{p(p+1)}\right) X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$이다.
• $-X < D < 0$인 $D$에 대해 $|\text{Cl}_3(D)|$의 합은 $2 \sum_{-X<D<0} 1 + \frac{\sqrt{3} \cdot 8\zeta(1/3)}{5\Gamma(2/3)^3} \prod_p \left(1 - \frac{p^{1/3} + 1}{p(p+1)}\right) X^{5/6} + O_\epsilon(X^{5/6 - 1/48 + \epsilon})$이다.
• ${\rm GL}_2(\bbZ)$-동치류로 이루어진 기약 이항 삼차 형식 중 판별식이 $0 < \text{Disc}(f) < X$인 것의 수는 $\frac{\pi^2}{72}X + \frac{\sqrt{3}\zeta(2/3)\Gamma(1/3)(2\pi)^{1/3}}{30\Gamma(2/3)}X^{5/6} + O_\epsilon(X^{3/4 + \epsilon})$이다.
• p진 적분과 불변 측도를 통해 전형적 벡터 공간 위의 제타 함수를 피하는 원시적인 방법으로 Davenport–Shintani 정리의 두 번째 주요 항을 도출하였다.