[논문 리뷰] On the defining relations of the affine Lie superalgebras and their quantized universal enveloping superalgebras

Hiroyuki Yamane|ArXiv.org|1996. 03. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 아핀 리 초대수군과 그 양자화된 보편 포괄 초대수군(Uh(G))에 대한 정의 관계를 수립하며, 세르의 관계를 초대수군 설정으로 확장한다. 웨일군 유형의 동형사상과 보편 리 초대수군 ¯G를 사용하여 Uh(ˆsl(m|n)(1))에 대한 명시적 관계를 유도하며, 특히 m=n인 경우 드린펠트의 실현과 새로운 세르 유형의 관계를 포함한다. 주요 기여는 브레인 군 작용과 고전적 관계의 양자화 버전을 통해 Uh(ˆsl(m|m)(1))에 대한 완전한 생성자 및 관계 집합을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we give defining relations of the affine Lie superalgebras an and defining relations of a super-version of the Drinfeld[D]-Jimbo[J] affine quantized universal enveloping algebras. As a result, we can exactly define the affine quantized universal enveloping superalgebras with generators and relations. Moreover we give a Drinfeld's realizations of $U_h({\hat {sl}}(m|n)^{(1)})$.

연구 동기 및 목표

• 카크-무디 대수군의 세르 관계를 아핀 리 초대수군, 특히 ˆsl(m|n)(1)로 일반화하는 것.
• 웨일군 유형의 동형사상 {Li}를 올리는 보편적 성질을 통해 보편 리 초대수군 ¯G를 정의하는 것.
• U0(G) = Uh(G)/hUh(G)가 ¯G의 고전적 관계를 복원하도록 Uh(G)의 정의 관계를 유도하는 것.
• 드린펠트 유형의 실현을 통해 Uh(ˆsl(m|m)(1))를 특정화하는 것. 이는 고전적 관계의 양자화 버전, 특히 m=n인 경우 새로운 세르 유형의 관계를 포함한다.
• 클래식한 {Li} 작용을 h→0에서 양자화된 Uh(ˆsl(m|n)(1))에서 끌어올리는 브레인 군 작용을 수립하는 것.

제안 방법

• 웨일군 유형의 동형사상 {Li}를 {¯Li}로 끌어올리는 보편적 성질을 통해 보편 리 초대수군 ¯G를 도입함으로써 정의 관계의 직접 계산을 가능하게 한다.
• 비퇴사적인 대칭 이항형식을 사용하여 Uh(G)에 드린펠트-지모 양자 이중 구조를 적용함으로써 위상적 자유성과 보편 R-행렬의 존재를 보장한다.
• 밀너-무어 정리를 적용하여 U0(G)의 원시 원소들이 리 초대수군 G0를 이루며, 이는 ¯G의 몫임을 보인다.
• 클래식한 극한 h→0에서 ˆsl(m|n)(1)에 대한 {Li} 작용으로 내림되는 Uh(ˆsl(m|n)(1))에 대한 브레인 군 작용을 도입한다.
• h(s)ik와 ˆ¯ψ(s)ir에 대한 생성 함수를 사용하여 양자 세르 관계의 양자화 버전을 도출함으로써 Tωi(Ei), Tωi(Fi), Kδ를 포함하는 명시적 교환 관계를 도출한다.
• 고전적 전상사 j: ¯G → G의 핵 관계를 결합한 양자 관계를 통해 드린펠트의 실현을 Uh(ˆsl(m|m)(1))에 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ¯G ≠ G일 때, m=n인 ˆsl(m|m)(1)의 아핀 리 초대수군의 정의 관계는 무엇인가?
• RQ2 드린펠트-지모 양자군 Uh(G)는 명시적인 생성자와 관계를 통해 어떻게 양자 보편 포괄 초대수군으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 m=n인 경우 Uh(ˆsl(m|m)(1))에서 나타나는 고전적 세르 관계의 양자화 버전은 무엇인가?
• RQ4 Uh(ˆsl(m|n)(1))에 대한 브레인 군 작용은 고전 아핀 리 초대수군에서의 웨일군 유형의 동형사상 {Li}와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 j: ¯G → G의 핵에 대응하는 Uh(ˆsl(m|m)(1))에서 나타나지만 클래식한 극한 h→0에서 사라지는 새로운 관계는 무엇인가?

주요 결과

• ˆsl(m|m)(1)에 대해 고전 리 초대수군 ˆsl(m|m)(1)은 ¯G의 몫이며, ker j = I ⊗C[t,t−1]이다. 여기서 I는 단위 행렬이다.
• Uh(ˆsl(m|m)(1))의 정의 관계는 정리 6.6.1의 관계에 (8.3.5)의 양자화 버전인 핵 관계를 추가함으로써 도출된다.
• (αi, αi) = 0일 때, [hik, Tωj(Fj)] = −1/kQij,k Kk/2δ Tωj+m+k(Fj) 및 Ei에 대해 유사한 관계가 양자화된 고전적 교환 관계의 양자화 버전으로 도출된다.
• m=n일 경우, Uh(ˆsl(m|m)(1))에서 클래식한 극한에서 사라지는 새로운 세르 유형의 관계가 특정된다. 특히 (αi, αk) = (αj, αj) = 0 이고 (αi, αj) = −(αj, αk) ≠ 0일 때 [[Ei, Ej], [Ej, Ek]] = 0 이다.
• Uh(ˆsl(m|n)(1))에 대한 브레인 군 작용은 고전적인 {Li} 작용을 끌어올리며, 이 작용은 베크의 추론을 통해 전체 정의 관계 집합을 도출하는 데 사용된다.
• Pk≥0 ψikzk = Ki exp((q−q−1)∑r≥1 hir zr) 및 φik에 대해 동일하게 정의된 생성 함수는 Uh(ˆsl(m|n)(1))에서 양자 세르 관계를 압축적으로 표현하는 데 사용된다.