[논문 리뷰] On the definition of spacetimes in Noncommutative Geometry, part II

Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 23.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 짝수 차원에서 시간 및 공간 방향성을 갖춘 로레츠 또는 반-로레츠 스피너 다양체의 비가환 일반화로 스펙트럴 시공간을 제안한다. 이 구조는 $C^*$-대수나 선호되는 시간 방향성 형식을 고정하지 않고 정의되며, 관측자 변환에 의해 관련된 다수의 동형 $C^*$-구조를 허용한다. 주요 기여는 유한 그래프 위의 분할 디랙 구조와 같은 재구성 불가능한 스펙트럴 시공간을 구성한 것으로, 이는 스펙트럴 트리플의 위크 변환으로 얻을 수 없으며 진정으로 로레츠 기하학을 제공한다.

ABSTRACT

In this second part of the paper, we define spectral spacetimes, a noncommutative generalization of Lorentzian orientable spacetimes of even dimension with a spin structure. There are two main differences with spectral triples: the existence of time-orientation 1-forms and the non-existence of a distinguished C*-structure on the algebra. If a "reconstructibility condition" is met, different, yet isomorphic, C*-structures exist. We define a natural notion of stable causality for spectral spacetimes. We give an example of a commutative spectral spacetime which is a Wick rotated version of the spectral triple that must be used in order to recover the usual notion of distance on a finite graph through Connes' distance formula. We show that this spectral spacetime is stably causal iff the time-orientation form induces no cycle. We also provide a noncommutative example, the split Dirac structure, which we study in some details. This structure is defined thanks to a discrete spinor bundle on a finite graph, a discrete connection, and operators at the vertices playing the role of gamma matrices. We give necessary and sufficient conditions for the split Dirac structure to be a spectral spacetime. These includes the natural analogues of the properties defining a spin connection in the continuous case. However the split Dirac structure is not always reconstructible: we prove that this is the case exactly when there exists a parallel timelike vector field on the graph. Nonreconstructible split Dirac structures furnish examples of spectral spacetimes which are not Wick rotations of usual spectral triples, and are thus genuinely Lorentzian. Moreover we show that the Dirac operator of the split Dirac structure is related to a Lorentzian version of a discretization of the Dirac operator introduced earlier by Marcolli and van Suijlekom.

연구 동기 및 목표

• 짝수 차원에서 시간 및 공간 방향성을 갖춘 로레츠/반-로레츠 스피너 다양체의 비가환 일반화를 정의하기 위해.
• 비가환 시공간 모델에서 표준 $C^*$-구조의 부재 문제를 다루며, 관측자 변환에 의해 관련된 다수의 동형 $C^*$-구조를 허용하기 위해.
• 스펙트럴 시공간에 대해 안정적 인과성의 개념을 도입하고 이전의 비가환 인과성 연구와 연결하기 위해.
• 유한 차원 예시를 구성하며, 특히 이산 스피너 번들의 비가환 일반화와 접속을 포함한 스펙트럴 트리플의 일반화를 제공하기 위해.
• 스펙트럴 시공간이 재구성 가능한 조건을 규명하고, 재구성 불가능한 경우가 진정으로 로레츠 기하학을 제공함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유니탈 대수, 크라인 구조를 지닌 힐베르트 공간, 그리고 특정 대수적 및 스펙트럴 조건을 만족하는 자기수반 연산자(디랙 연산자)를 사용하여 스펙트럴 시공간을 정의한다.
• 시간 방향성 1형식의 비가환 일반화를 도입하며, 이는 전하 케이스 연산자와 반교환되며, 정규화되거나 대수와 교환될 필요가 없음을 특징으로 한다.
• 관측자에 의해 유도되는 동형사상이 존재하는 다수의 동형 $C^*$-구조가 존재하는 재구성 가능성 조건을 구현한다.
• 이산 스피너 번들, 이산 접속, 그리고 정점별로 작용하는 게이머 행렬을 사용하여 유한 그래프 위의 분할 디랙 구조를 구성한다.
• 양의 가중치를 갖는 방향 그래프 위의 표준 반-로레츠 스펙트럴 시공간에 위크 변환을 적용하고, 이와 콘네스의 거리 공식을 유한 그래프에서 연결한다.
• 스펙트럴 시공간에 대해 안정적 인과성의 개념을 일반화하고, 이것이 그래프에서 시간 방향성 1형식이 사이클을 유도하지 않을 때에만 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $C^*$-대수 없이, 스핀 구조와 시간-공간 방향성을 갖춘 비가환 로레츠 시공간의 일반화를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럴 시공간이 다수의 동형 $C^*$-구조를 갖는 조건은 무엇이며, 이들은 관측자 변환과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 재구성 불가능한 스펙트럴 시공간이 존재할 수 있으며, 이는 비가환 로레츠 기하학에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 스펙트럴 시공간에서의 안정적 인과성은 그래프에서 시간 방향성 1형식이 사이클을 유도하지 않을 때와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 분할 디랙 구조는 로레츠 맥락에서 디랙 연산자의 이산화를 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 양의 가중치를 갖는 방향 그래프 위의 표준 반-로레츠 스펙트럴 시공간은 그래프의 방향이 비순환일 때에만 안정적 인과성을 갖는다.
• 분할 디랙 구조가 스펙트럴 시공간이 되기 위한 조건은 연속적인 경우의 스피너 접속을 정의하는 성질의 자연스러운 일반화를 만족할 때이다.
• 분할 디랙 구조가 재구성 가능할 조건은 그래프 위에 평행(공변적으로 일정한) 시간적 벡터장이 존재할 때이다.
• 재구성 불가능한 분할 디랙 구조는 어떤 스펙트럴 트리플의 위크 변환으로도 얻을 수 없으며, 따라서 진정으로 로레츠 기하학을 제공한다.
• 분할 디랙 구조의 디랙 연산자는 마르콜리와 반 수이줄레콤이 도입한 로레츠 기하학적 이산화된 디랙 연산자와 관련이 있다.
• \mathbb{C}^2 위에 정의된 스펙트럴 시공간은 0차원 스펙트럴 트리플의 위크 변환이며, 6차원 스펙트럴 트리플은 위크 변환될 수 없음을 보여주며, 이는 표준 스펙트럴 트리플과의 핵심적 차이를 드러낸다.