[논문 리뷰] On the degree of the polynomial defining a planar algebraic curves of constant width

Magali Bardet, Térence Bayen|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 16.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비원형 평면 곡선의 정상 폭을 정의하는 다항식의 최소 차수를 결정하여 볼록 기하학에서 오랫동안 남아 있던 질문을 해결한다. 대수기하학과 제거 이론을 사용하여, 삼각함수 다항식으로 매개화된 곡선—정도 $N$인 지지함수를 갖는—정의 다항식의 총 차수는 모든 계수가 홀수이면 $N+1$이고, 그렇지 않으면 $2N+2$임을 증명한다. 주요 결과는 Rabinowitz의 추측을 확인하며, 8 미만의 차수를 갖는 다항식으로는 그러한 곡선을 정의할 수 없다는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a family of closed planar algebraic curves $\mathcal{C}$ which are given in parametrization form via a trigonometric polynomial $p$. When $\mathcal{C}$ is the boundary of a compact convex set, the polynomial $p$ represents the support function of this set. Our aim is to examine properties of the degree of the defining polynomial of this family of curves in terms of the degree of $p$. Thanks to the theory of elimination, we compute the total degree and the partial degrees of this polynomial, and we solve in addition a question raised by Rabinowitz in \cite{Rabi} on the lowest degree polynomial whose graph is a non-circular curve of constant width. Computations of partial degrees of the defining polynomial of algebraic surfaces of constant width are also provided in the same way.

연구 동기 및 목표

• 비원형 평면 곡선의 정상 폭을 정의하는 다항식의 최소 차수를 결정하기.
• Rabinowitz(1994)가 제기한, 그러한 정의 다항식의 최저 가능한 차수에 관한 질문을 해결하기.
• 정상 폭을 갖는 대수적 곡선을 정의하는 암묵 다항식의 총 차수와 부분 차수에 대한 정확한 공식을 수립하기.
• 구면 조화함수와 암묵화 기법을 사용하여 3차원에서 정상 폭을 갖는 대수적 곡면으로 분석을 확장하기.

제안 방법

• 정상 폭을 갖는 평면 곡선을 정도 $N$인 삼각함수 다항식 $p(\theta)$로 매개화하여 볼록체의 지지함수를 표현하기.
• 결과물과 베주 행렬을 통한 암묵화 이론을 적용하여 곡선의 정의 다항식 $f(x,y)$를 계산하기.
• Weierstrass 치환 $t = \tan(\theta/2)$를 통한 유리 매개화를 사용하여 삼각함수 표현을 유리함수로 변환하기.
• 매개화가 곡선을 몇 번이나 반복적으로 그리는지(1번 또는 2번) 분석하여 암묵 다항식의 차수를 결정하기.
• 제거 이론과 결과물 계산을 활용하여 정의 다항식의 정확한 총 차수와 부분 차수를 유도하기.
• 3차원 대수적 곡면에 대해 이론을 응용하여, Maple에서의 기호 계산을 통해 부분 차수를 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원형 평면 곡선의 정상 폭을 정의하는 실수 다항식의 최소 총 차수는 얼마인가?
• RQ2 정의 다항식의 차수는 지지함수의 삼각함수 다항식의 차수와 계수의 기수성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 정상 폭을 갖는 대수적 곡선의 암묵화는 제거 이론을 통해 체계적으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{R}^3$에서 정상 폭을 갖는 대수적 곡면의 정의 다항식의 부분 차수는 무엇인가?
• RQ5 Rabinowitz의 최소 차수에 대한 추측을 고차원 정상 폭 곡면으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 정상 폭을 갖는 평면 대수적 곡선의 정의 다항식 $f(x,y)$의 총 차수는, 정도 $N \geq 2$인 삼각함수 지지다항식 $p$의 계수가 모두 홀수이면 $N+1$이다.
• 만약 $p$가 어느 짝수 비영계수를 포함하면, $f$의 총 차수는 $2N+2$이다.
• 이것은 비원형 정상 폭 곡선이 8 미만의 차수를 갖는 다항식으로 정의될 수 없다는 것을 증명하며, Rabinowitz의 추측을 확인한다.
• 모든 $N=3$일 때 최소 차수는 8이며, 이는 Rabinowitz의 구성과 일치하며 최적이 됨을 입증한다.
• 이 방법은 Maple에서의 기호 계산을 통해 3차원 대수적 곡면의 정의 다항식의 부분 차수를 계산할 수 있게 한다.
• 이러한 곡면에 대해 직접 그로버 기저 계산은 합리적인 시간 내에 실패하지만, 결과물 기반 방법은 성공하여 부분 차수 분석이 가능하다.