[논문 리뷰] On the density function of the distribution of real algebraic numbers

Dzianis Kaliada|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 07.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고정된 차수 $ n \geq 2 $ 를 가진 실수 대수적 수의 밀도 함수의 존재성과 연속 미분 가능성과 함께, 밀도에 대한 명시적 공식을 유도하고, 날카로운 오차 추정을 갖는 이러한 수의 갯수에 대한 점근적 수식을 증명한다. 주요 결과는 분포가 균일하지 않음을 보여주며, 이는 Bernik의 균일성에 대한 추측을 반증한다.

ABSTRACT

In this paper we study the distribution of the real algebraic numbers. Given an interval $I$, a positive integer $n$ and $Q>1$, define the counting function $Φ_n(Q;I)$ to be the number of algebraic numbers in $I$ of degree $n$ and height $\le Q$. Let $I_x = (-\infty,x]$. The distribution function is defined to be the limit (as $Q o\infty$) of $Φ_n(Q;I_x)$ divided by the total number of real algebraic numbers of degree $n$ and height $\le Q$. We prove that the distribution function exists and is continuously differentiable. We also give an explicit formula for its derivative (to be referred to as the distribution density) and establish an asymptotic formula for $Φ_n(Q;I)$ with upper and lower estimates for the error term in the asymptotic. These estimates are shown to be exact for $n \ge 3$. One consequence of the main theorem is the fact that the distribution of real algebraic numbers of degree $n \ge 2$ is non-uniform.

연구 동기 및 목표

• 고정된 차수 $ n \geq 2 $ 를 가진 실수 대수적 수의 분포에 관한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하는 것, 특히 이러한 수들이 실수선 전역에서 균일하게 분포되어 있는지 여부를 밝혀내는 것.
• 높이와 차수에 따라 정렬된 실수 대수적 수에 대해 그 극한 분포 함수의 존재성과 매끄러움을 확립하는 것.
• 이 분포의 밀도 함수에 대한 명시적 공식을 유도하고, 카운팅 함수 $ \Phi_n(Q;I) $ 에 대한 정밀한 점근적 추정을 제공하는 것.
• 차수 $ n \geq 2 $ 에서 분포가 비균일하다는 것을 보여주며, V. I. Bernik의 균일성에 대한 추측을 반증하는 것.

제안 방법

• 계수의 높이가 $ \leq Q $ 이고 구간 $ I $ 에 속하는 차수 $ n $ 의 실수 대수적 수의 수로 정의된 카운팅 함수 $ \Phi_n(Q;I) $ 를 정의한다.
• 분포 함수를 $ Q \to \infty $ 일 때 $ \Phi_n(Q;I_x)/\#\mathbb{A}_n(Q) $ 의 극한으로 정의한다. 여기서 $ I_x = (-\infty, x] $ 이다.
• 이 극한이 존재하고 연속 미분 가능하며, 그 도함수가 분포 밀도 $ \rho_n(x) $ 라는 것을 증명한다.
• 실수 평면 $ \mathbb{R}^{n+1} $ 에서의 $ L^2 $-노름과 외적 부피를 다루는 기하학적 및 해석적 기법을 사용하여 밀도의 명시적 공식을 도출한다.
• $ \Phi_n(Q;I) $ 에 대한 점근 공식을 확립하고 오차 항에 상한과 하한을 제시하며, 이 오차 추정이 $ n \geq 3 $ 에서 날카로운 것으로 밝혀진다.
• 높이와 값의 증가 순서로 대수적 수를 정렬한 수열을 이용하여 결과를 잘린 수열 내 누적 수로 재기반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $ n \geq 2 $ 를 가진 실수 대수적 수의 분포는 실수선 전역에서 균일한가?
• RQ2 주어진 구간 $ I $ 에서 차수 $ n $ 과 높이 $ \leq Q $ 인 실수 대수적 수의 수의 정밀한 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 이 극한 분포의 밀도 함수에 대해 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 점근적 카운팅 공식의 오차 항은 어떻게 행동하며, $ n \geq 3 $ 에서 이 오차 항이 날카로운가?

주요 결과

• 차수 $ n \geq 2 $ 를 가진 실수 대수적 수의 극한 분포 함수가 존재하며, 연속 미분 가능하다.
• 밀도 함수에 대한 명시적 공식이 도출되었으며, $ \phi_n(\|\cdot\|_2;x) = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)} \sqrt{ \frac{1}{(x^2-1)^2} - \frac{(n+1)^2 x^{2n}}{(x^{2n+2}-1)^2} } $ 이다.
• 점근 공식 $ \Phi_n(Q;I) $ 의 오차 항은 $ O(Q^n (\ln Q)^{\ell(n)}) $ 으로 유계이며, 이 유계는 $ n \geq 3 $ 에서 날카로운 것으로 밝혀졌다.
• 분포는 $ n \geq 2 $ 에서 비균일하며, 이는 V. I. Bernik의 균일성에 대한 추측을 반증한다.
• 높이 순서로 정렬된 수열을 통해 결과를 재기반화한 바, $ \mathfrak{N}_n(N,I) = N \int_I \rho_n(x)\,dx + O\left(N^{\frac{n}{n+1}} (\ln N)^{\ell(n)}\right) $ 로 표현된다.
• 밀도 함수 $ \rho_n(x) $ 는 $ \phi_n(x) $ 에 비례하며, 이 형태는 i.i.d. 가우시안 계수를 가진 랜덤 다항식의 실근의 극한 밀도와 일치한다.