[논문 리뷰] On the Density of Languages Accepted by Turing Machines and Other Machine Models

Óscar H. Ibarra, Ian McQuillan|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 16인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 한 방향으로만 읽을 수 있는 입력과 복귀 제한된 작업 테이프를 가진 비결정성 튜링 기계에서, 밀도—언어의 모든 인фикс들이 알파벳 위의 전체 문자열 집합임을 의미하는 것—가 결정 가능함을 입증한다. 이는 독자/쓰기 헤드가 최대 고정된 횟수 이내로 방향을 바꾸는 경우에 해당한다. 주요 기여는 저장소 언어의 정규성에 기반한 결정 가능성 증명으로, 이는 한 방향 복귀 제한된 큐 및 스택 오토마타와 같은 관련 모델로 확장되며, 두 개의 이러한 테이프를 가진 결정성 기계나 단일 기호 비결정성 기계의 경우에서는 결정 불가능성이 입증된다.

ABSTRACT

A language is dense if the set of all infixes (or subwords) of the language is the set of all words. Here, it is shown that it is decidable whether the language accepted by a nondeterministic Turing machine with a one-way read-only input and a reversal-bounded read/write worktape (the read/write head changes direction at most some fixed number of times) is dense. From this, it is implied that it is also decidable for one-way reversal-bounded queue automata, one-way reversal-bounded stack automata, and one-way reversal-bounded $k$-flip pushdown automata (machines that can "flip" their pushdowns up to $k$ times). However, it is undecidable for deterministic Turing machines with two 1-reversal-bounded worktapes (even when the two tapes are restricted to operate as 1-reversal-bounded pushdown stacks).

연구 동기 및 목표

• 다양한 기계 모델에 대해 밀도의 결정 가능성을 규명하는 것, 특히 복귀 제한된 저장소를 가진 모델에 초점한다.
• 밀도라는 성질—즉, 모든 가능한 인패턴을 포함하는 것—이 복귀 행동이 제한된 오토마타에서 알고리즘적으로 결정 가능한지 조사하는 것.
• 스택 오토마타에서의 결정 가능성 결과를 복귀 제한된 작업테이프를 가진 튜링 기계와 같은 더 넓은 기계 클래스로 확장하는 것.
• 결정 가능과 결정 불가능 사례의 경계를 규명하는 것, 특히 복귀 제한 테이프의 수에 초점한다.

제안 방법

• 복귀 제한된 비결정성 튜링 기계에서, 수용 계산 과정에서 도달 가능한 상태/저장소 내용 쌍의 집합인 저장소 언어의 정규성에 기반한다.
• 이러한 기계의 저장소 언어가 정규임을 이용하여 인패턴 집합의 효과적 분석이 가능하다.
• 밀도 문제를 알파벳 위의 전체 자유 모노이드와 동일한 인패턴 폐쇄가 언어의 인패턴 폐쇄와 일치하는지 확인하는 것으로 환원한다.
• 폐쇄 성질과 환원을 적용하여 두 개의 복귀 제한 테이프 또는 단일 기호 알파벳을 가진 모델의 결정 불가능성을 입증한다.
• 정지 문제에서의 환원을 통해 결정 불가능성을 증명하며, 특히 튜링 기계의 실시간 시뮬레이션을 사용한다.
• 모의 실험과 복귀 제한된 연산에 대한 폐쇄성에 기반하여 결과를 스택 오토마타, 큐 오토마타, k-플립 스택 오토마타 등 관련 모델로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 방향으로만 읽을 수 있는 입력과 복귀 제한된 작업 테이프를 가진 비결정성 튜링 기계가 수용하는 언어가 밀도를 가지는지 결정 가능한가?
• RQ2 밀도의 결정 가능성은 한 방향 복귀 제한 큐 오토마타, 스택 오토마타, k-플립 스택 오토마타로 확장되는가?
• RQ3 복귀 제한 테이프의 수가 한 개에서 두 개로 증가할 경우, 심지어 결정성 케이스에서도 결정 가능성은 유지되는가?
• RQ4 단일 기호 알파벳에서 작동하는 한 방향 비결정성 두 스택 오토마타가 수용하는 언어에 대해 밀도가 결정 가능한가, 특히 두 스택이 모두 1-복귀 제한일 경우?
• RQ5 한 방향 결정성 기계에서 복귀 제한된 카운터나 단일 기호 카운터를 다수 가진 경우 밀도의 결정 가능성이 확장되는가?

주요 결과

• 복귀 제한된 작업 테이프를 가진 한 방향 비결정성 튜링 기계가 수용하는 언어의 밀도는 저장소 언어의 정규성 덕분에 결정 가능하다.
• 밀도의 결정 가능성은 한 방향 복귀 제한 큐 오토마타, 스택 오토마타, k-플립 스택 오토마타로 확장되며, 이들은 이러한 튜링 기계로 모의 실험 가능하다.
• 한 방향 결정성 튜링 기계가 두 개의 1-복귀 제한 작업 테이프를 가진 언어의 밀도는 결정 불가능하다.
• 단일 기호 알파벳에서 작동하는 한 방향 비결정성 두 스택 오토마타의 경우에도 밀도의 결정 불가능성이 유지되며, 특히 두 스택이 모두 1-복귀 제한일 경우에도 마찬가지다.
• 단일 기호 언어의 경우, 복귀 제한 카운터를 가진 양방향 비결정성 카운터 기계에서는 밀도가 결정 가능하지만, 비제한 카운터를 하나만 가진 양방향 결정성 기계에서는 결정 불가능하다.
• 결정 가능과 결정 불가능한 밀도 문제의 경계는 복귀 제한 테이프의 수와 결정성 또는 단일 기호 알파벳의 존재 여부에 있다.