[논문 리뷰] On the derivation of the renewal equation from an age-dependent branching process: an epidemic modelling perspective

Swapnil Mishra, Tresnia Berah외 7명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 30.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 연령에 따라 달라지는 분열 과정에서 재생 방정식을 유도하여 전염병 모델링에서 그 사용에 대한 원천 기반의 정당성을 제공한다. 시간에 따라 변화하는 유통률과 외부 유입 감염을 도입함으로써 MCMC를 통한 베이지안 추론이 가능해지며, 이는 한국의 코로나19 데이터에 적용되었을 때 동적 전파 및 유입 패턴을 신뢰구간과 함께 성공적으로 포착한다.

ABSTRACT

Renewal processes are a popular approach used in modelling infectious disease outbreaks. In a renewal process, previous infections give rise to future infections. However, while this formulation seems sensible, its application to infectious disease can be difficult to justify from first principles. It has been shown from the seminal work of Bellman and Harris that the renewal equation arises as the expectation of an age-dependent branching process. In this paper we provide a detailed derivation of the original Bellman Harris process. We introduce generalisations, that allow for time-varying reproduction numbers and the accounting of exogenous events, such as importations. We show how inference on the renewal equation is easy to accomplish within a Bayesian hierarchical framework. Using off the shelf MCMC packages, we fit to South Korea COVID-19 case data to estimate reproduction numbers and importations. Our derivation provides the mathematical fundamentals and assumptions underpinning the use of the renewal equation for modelling outbreaks.

연구 동기 및 목표

• 재생 방정식을 연령에 따라 달라지는 분열 과정에서 유도함으로써 전염병 모델링에서 재생 방정식에 대한 엄밀한 수학적 기반을 확립하는 것.
• 재생 방정식을 시간에 따라 변화하는 유통률과 유입과 같은 외부 감염을 허용하도록 일반화하는 것.
• 계층적 프레임워크 내에서 MCMC를 사용하여 재생 모델에 대한 완전한 베이지안 추론이 어떻게 수행될 수 있는지 보여주는 것.
• 특히 한국의 코로나19 사례 수와 같은 실제 데이터를 바탕으로 모델을 검증하여 동적 전파 및 유입 역학을 추정하는 것.
• 재생 방정식의 가정과 제약 조건을 기반의 확률 과정과의 명시적 연결을 통해 명확히 하는 것.

제안 방법

• 생산 함수를 사용하여 다루기 어려운 적분을 처리함으로써, 연령에 따라 달라지는 분열 과정의 기대값으로서 재생 방정식을 유도한다.
• 순차 간격 분포를 고정된 감마분포 Gamma(6.5, 0.62)로 모델링하고, 시간 간격으로 이산화한다.
• 시간에 따라 변화하는 유통률을 $ R_t = \exp(\epsilon_t) $로 매개변수화하며, $ \epsilon_t $는 제약 조건이 있는 정규 사전분포를 가진 AR(2) 과정을 따른다.
• 첫 40일간의 유행 기간 동안, 매일의 유입을 포isson 과정으로 모델링하고, Exponential(0.5) 사전분포를 사용한다.
• 공동 사후분포 $ p(\theta, \mu_t, R_t, \phi | f(t)) \propto p(f(t)|\theta,\mu_t,R_t)p(\theta)p(\mu_t)p(R_t)p(\phi) $ 를 갖는 계층적 베이지안 모델을 구성한다.
• 후행 분포와 신뢰구간을 추정하기 위해 표준 MCMC 패키지를 사용하여 추론을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재생 방정식은 어떻게 확률적인 연령에 따라 달라지는 분열 과정에서 엄밀하게 유도될 수 있는가?
• RQ2 재생 프레임워크 내에서 시간에 따라 변화하는 유통률과 외부 유입을 허용할 경우 어떤 의미가 있는가?
• RQ3 표준 MCMC 도구를 사용하여 재생 모델에 대한 완전한 베이지안 추론를 어떻게 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ4 재생 모델은 다중 파동과 유입 사건과 같은 복잡한 전염병 역학을 어느 정도 잘 포착할 수 있는가?
• RQ5 재생 방정식과 SIR와 같은 분할 모델 간의 구조적 차이점은 무엇이며, 그 가정은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 재생 방정식은 연령에 따라 달라지는 분열 과정의 기대값으로 자연스럽게 유도되며, 전염병 모델링에서 그 사용에 대한 원천 기반의 정당성을 제공한다.
• 모델은 초기 한국 유행 기간인 2020년 1월 초에 $ R_t $가 2.0을 초과하는 피크 유통률을 성공적으로 추정하였다.
• 감소 추세에 있던 기간 동안 유통률이 1.0 이하로 떨어졌으며, 이는 통제 조치와 일치한다.
• 연구 기간 전반에 걸쳐 매일의 유입 수가 작지만 비영향을 받지 않는 것으로 추정되었으며, 신뢰구간은 지속적인 저수준의 유입 위험을 시사한다.
• 2020년 6월의 두 번째 파동은 일시적으로 $ R_t > 1 $을 동반하였으며, 이는 시간에 따라 변화하는 $ R_t $를 통해 모델이 포착하였다.
• AR(2) 과정을 $ \epsilon_t $에 사용함으로써 $ R_t $의 매끄럽고 현실적인 역학이 가능해졌으며, 후행 신뢰구간을 통한 적절한 불확실성 정량화가 이루어졌다.