[논문 리뷰] On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer order with respect to its degree

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 18.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 65인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 정수 $ m $ 에 대해 관련 레게ンド르 함수의 첫 번째 종류 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 의 차수 $ \nu $ 에 대한 도함수에 대해 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식을 유도한다. $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 에 대해 윤곽선 적분 및 폐쇄형 표현을 수립하고, 이를 바탕으로 복소 평면 전역에서 수치 계산에 적합한 두 번째 종류의 관련 레게ンド르 함수 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 를 위한 새로운 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식을 구성한다.

ABSTRACT

In our recent works [R. Szmytkowski, J. Phys. A 39 (2006) 15147; corrigendum: 40 (2007) 7819; addendum: 40 (2007) 14887], we have investigated the derivative of the Legendre function of the first kind, $P_ν(z)$, with respect to its degree $ν$. In the present work, we extend these studies and construct several representations of the derivative of the associated Legendre function of the first kind, $P_ν^{\pm m}(z)$, with respect to the degree $ν$, for $m\in\mathbb{N}$. At first, we establish several contour-integral representations of $\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν$. They are then used to derive Rodrigues-type formulas for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ with $n\in\mathbb{N}$. Next, some closed-form expressions for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ are obtained. These results are applied to find several representations, both explicit and of the Rodrigues type, for the associated Legendre function of the second kind of integer degree and order, $Q_{n}^{\pm m}(z)$; the explicit representations are suitable for use for numerical purposes in various regions of the complex $z$-plane. Finally, the derivatives $[\partial^{2}P_ν^{m}(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$, $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ and $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=-n-1}$, all with $m>n$, are evaluated in terms of $[\partial P_ν^{-m}(\pm z)/\partialν]_{ν=n}$.

연구 동기 및 목표

• 정수 $ m \in \mathbb{N} $ 에 대해 관련 레게ンド르 함수의 첫 번째 종류 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 의 차수 $ \nu $ 에 대한 도함수를 체계적으로 조사하여, 이전의 $ P_\nu(z) $ 에 대한 연구를 확장한다.
• 복소 해석학을 활용하여 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 에 대한 윤곽선 적분 표현을 유도함으로써, 정수 $ \nu = n $ 에서의 도함수에 대한 해석적 및 수치적 처리를 가능하게 한다.
• 닫힌 형태의 표현을 유도하여 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 에 대해 디감마 함수 $ \psi(\zeta) $ 를 포함하는 공식을 제공한다.
• 이러한 결과를 바탕으로, 복소 $ z $-평면의 다양한 영역에서 유효한 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 를 위한 새로운 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식을 유도한다.
• 고차 도함수인 $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $, $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $, 및 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ 의 값을 $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 를 통해 표현하며, 특히 $ m > n $ 인 경우를 중심으로 다룬다.

제안 방법

• 복소 해석학을 활용하여 $ t = 1 $, $ t = -1 $, $ t = z $ 사이의 분岐점들을 피하는 적분 경로를 고려한 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 의 윤곽선 적분 표현을 유도한다.
• 윤곽선 적분 형태를 기반으로 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 에 대해 로드리게스 유형의 공식을 유도하며, 표준 레게ンド르 함수에 대한 조일리프의 공식을 일반화한다.
• 레게ンド르 다항식과 디감마 함수 $ \psi(\zeta) $ 를 포함하는 합을 이용한 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 의 폐쇄형 표현을 도출한다.
• $ \nu = n $ 에서 유도된 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 의 표현을 활용하여, 복소 $ z $-평면의 서로 다른 영역에서 유효한 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 를 위한 새로운 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식을 구성한다.
• 고차 도함수 $ Q_\nu^m(z) $ 의 $ \nu = n $ 과 $ \nu = -n-1 $ 에서의 값을 $ \nu = n $ 에서의 $ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu $ 와의 관계를 통해 평가하며, 특히 $ m > n $ 인 경우를 중심으로 다룬다.
• 분岐점 특이성을 다루고 복소 평면의 다양한 영역에서 수렴성을 확보하기 위해 포크하머 경로와 해석적 계속 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 $ m \in \mathbb{N} $ 와 $ \nu = n \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 의 윤곽선 적분 및 폐쇄형 표현은 무엇인가?
• RQ2 기존의 $ P_\nu(z) $ 에 대한 결과를 확장하여 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 에 대해 로드리게스 유형의 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 유도된 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 의 표현을 기반으로 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 를 위한 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $ m > n $ 인 경우 $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $, $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $, 및 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ 의 값은 무엇이며, $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 유도된 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 표현은 복소 $ z $-평면의 다양한 영역에서 어떻게 수치적으로 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 논문은 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 에 대해 윤곽선 적분 표현을 유도하였으며, 이는 $ t = 1 $ 에서 $ t = z $ 로 이어지는 분岐점의 루프를 감싸는 $ \mathscr{C}^{(+)} $ 라는 윤곽선을 포함한다. 이는 정수 $ \nu = n $ 에서의 해석적 계속 및 평가를 가능하게 한다.
• 로드리게스 유형의 공식이 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 에 대해 수립되었으며, 이는 표준 레게ンド르 함수에 대한 조일리프의 공식을 일반화한 것으로, $ (z^2 - 1)^n \ln\frac{z+1}{2} $ 의 도함수를 포함한다.
• $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 는 레게ンド르 다항식과 $ \psi(k+n+1) - \psi(k+1) $ 의 합을 포함하는 폐쇄형 표현으로 유도되었으며, 계수는 이항계수 및 계승계수를 포함한다.
• 유도된 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 의 도함수 표현을 기반으로, $ 0 \leq m \leq n $ 과 $ m > n $ 인 경우에 대해 유효한 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 를 위한 새로운 명시적 표현과 로드리게스 유형의 공식이 구성되었다.
• $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $, $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $, 및 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ 의 고차 도함수는 $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 를 통해 평가되었으며, 특히 $ m > n $ 인 경우에 대해 서로 다른 함수 유형 간의 재귀적 연결을 제공한다.
• 유도된 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 공식은 로그항과 유리함수항을 포함하는 구조 덕분에, 분岐점 근처 및 무한대 영역을 포함한 복소 $ z $-평면 전역에서 명시적으로 수치 계산에 적합하다.