[논문 리뷰] On the derivatives $\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}$ and $\partial Q_{ u}(z)/\partial u$ of the Legendre functions with respect to their degrees

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 08.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 25인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 정수 차수 $\nu = n$에서 레지온드르 함수의 제1종에 대한 2차 도함수 $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$와 제2종에 대한 1차 도함수 $\partial Q_\nu(z)/\partial\nu$에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다. 이 표현식은 다이로그함수 $\mathrm{Li}_2$, 레지온드르 다항식, 그리고 명시적으로 구성된 다항식 $B_n(z)$와 $C_n(z)$를 포함한다. 이 결과들은 이전의 1차 도함수 연구를 확장하며, 특수함수와 다이감마 함수를 포함한 정확한 해석적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

We provide closed-form expressions for the degree-derivatives $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$ and $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$, with $z\in\mathbb{C}$ and $n\in\mathbb{N}_{0}$, where $P_{ u}(z)$ and $Q_{ u}(z)$ are the Legendre functions of the first and the second kind, respectively. For $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$, we find that $$\displaystyle\frac{\partial^{2}P_{ u}(z)}{\partial u^{2}}\bigg|_{ u=n}=-2P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z),$$ where $ extrm{Li}_{2}[(1-z)/2]$ is the dilogarithm function, $P_{n}(z)$ is the Legendre polynomial, while $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ are certain polynomials in $z$ of degree $n$. For $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$ and $z\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]$, we derive $$\displaystyle \frac{\partial Q_{ u}(z)}{\partial u}\bigg|_{ u=n}=-P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}-\frac{1}{2}P_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}\ln\frac{z-1}{2} +\frac{1}{4}B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}-\frac{(-1)^{n}}{4}B_{n}(-z)\ln\frac{z-1}{2}-\frac{\pi^{2}}{6}P_{n}(z) +\frac{1}{4}C_{n}(z)-\frac{(-1)^{n}}{4}C_{n}(-z).$$ A counterpart expression for $[\partial Q_{ u}(x)/\partial u]_{ u=n}$, applicable when $x\in(-1,1)$, is also presented. Explicit representations of the polynomials $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ as linear combinations of the Legendre polynomials are given.

연구 동기 및 목표

• 정수 $\nu = n$에서 레지온드르 함수의 제1종 $P_\nu(z)$에 대한 차수 $\nu$에 대한 2차 도함수 $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하는 것.
• 이전의 $P_\nu(z)$에 대한 1차 도함수 결과를 2차 도함수로 확장하여 완전한 해석적 공식을 제공하는 것.
• 제2종 레지온드르 함수 $Q_\nu(z)$에 대한 차수 $\nu$에 대한 1차 도함수 $\partial Q_\nu(z)/\partial\nu$에 대한 유사한 닫힌 형태의 표현식을 유도하는 것. 이는 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ 및 $x \in (-1,1)$에 대해 각각 적용된다.
• 도함수 공식에 나타나는 다항식 $B_n(z)$와 $C_n(z)$를 레지온드르 다항식의 선형 조합으로 명시적으로 표현하는 것.
• 다양한 재귀관계, 합 항등식, 특수함수 이론(다이감마 함수 및 삼감마 함수 포함)을 사용하여 유도된 공식에 대한 엄밀한 해석적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 표준 레지온드르 함수 재귀관계를 $\nu$에 대해 두 번 미분하여 얻어진 2차 차수 차이 방정식을 풀어, $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n}$를 유도한다.
• 기존의 1차 도함수 공식 $\partial P_\nu(z)/\partial\nu|_{\nu=n} = P_n(z) \ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + R_n(z)$를 초기 조건으로 사용하며, 여기서 $R_n(z)$는 다이감마 함수와 레지온드르 다항식으로 표현된다.
• 다이감마 함수 $\psi(z)$, 삼감마 함수 $\psi_1(z)$, 그리고 유사 조화수 합과 관련된 재귀관계와 합 항등식을 적용하여 다항식 $B_n(z)$와 $C_n(z)$의 명시적 형태를 도출한다.
• 제2종 함수 $Q_\nu(z)$의 경우, 적분 표현식과 해석 continuation을 사용하여 1차 도함수를 유도하며, $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ 및 $x \in (-1,1)$에 대해 별도의 표현식을 제공한다.
• 다이로그함수 $\mathrm{Li}_2(z) = -\int_0^z \frac{\ln(1-t)}{t} dt$를 두 도함수 공식의 핵심 구성 요소로 활용한다.
• 교정된 합 항등식(교대 합과 유리 함수 포함)에 대한 보조 공식을 다항수의 성질과 다이감마 함수 이론을 사용하여 상세히 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 차수 $\nu = n$에서 2차 도함수 $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$에 대한 닫힌 형태의 표현식은 무엇인가요?
• RQ2 도함수 공식에 나타나는 다항식 $B_n(z)$와 $C_n(z)$는 레지온드르 다항식의 선형 조합으로 어떻게 명시적으로 표현할 수 있나요?
• RQ3 복소수 영역 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$에서 $\nu = n$일 때 $\partial Q_\nu(z)/\partial\nu$의 해석적 형태는 무엇인가요?
• RQ4 실수 영역 $x \in (-1,1)$에서 $\partial Q_\nu(x)/\partial\nu|_{\nu=n}$의 표현식은 복소수 영역과 비교해 어떻게 다릅니까?
• RQ5 유도된 공식은 비음수 정수 $n$을 초월하여 함수 항등식을 통해 음수 정수로 확장될 수 있나요?

주요 결과

• 정수 차수 $\nu = n$에서 $P_\nu(z)$의 2차 도함수는 $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n} = -2P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) + B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + C_n(z)$로 주어지며, 여기서 $B_n(z)$와 $C_n(z)$는 차수 $n$의 $z$에 관한 다항식이다.
• $B_n(z)$는 $4[\psi(2n+1) - \psi(n+1)]P_n(z) + 4\sum_{k=0}^{n-1} \frac{2k+1}{(n-k)(n+k+1)} P_k(z)$로 명시적으로 표현되며, 다이감마 함수 $\psi(z)$를 포함한다.
• $C_n(z)$는 다이감마 함수 $\psi(2n+1)$, 삼감마 함수 $\psi_1(2n+1)$, 그리고 다이감마 및 삼감마 함수에 의존하는 계수를 가진 레지온드르 다항식의 교대 합을 포함하는 복잡한 표현식이다.
• 복소수 영역 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$에 대해 $\nu = n$일 때 $Q_\nu(z)$의 1차 도함수는 $\partial Q_\nu(z)/\partial\nu|_{\nu=n} = -P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-z)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(z) + \frac{1}{4}C_n(z) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-z)$ 로 주어진다.
• 실수 영역 $x \in (-1,1)$에 대해 $\nu = n$일 때 도함수 $\partial Q_\nu(x)/\partial\nu|_{\nu=n}$는 $-P_n(x)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-x)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(x) + \frac{1}{4}C_n(x) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-x)$ 로 유도된다.
• 유도된 공식은 모든 $n \in \mathbb{N}_0$에 대해 유효하며, 항등식 $P_{-\nu-1}(z) = P\nu(z)$를 통해 $\partial^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n}$의 결과는 음수 정수로도 확장된다.