[논문 리뷰] On the derived functor analogy in the Cuntz-Quillen framework for cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆|arXiv (Cornell University)|2000. 01. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Cuntz-Quillen의 프레임워크에서 순환 homology의 유도 함수 유사성에 대해 형식화하며, 무한소 변형에 대해 가산 프로-대수의 범주를 국소화하는 것을 구축한다. 특성 0에서, 주기적 순환 homology는 de Rham cohomology의 유도 함수로 나타남을 증명한다. 또한 유리수 K-theory의 유도 함수를 음의 순환 homology로 가는 채르니 캐릭터의 필터로 계산한다.

ABSTRACT

Cuntz and Quillen have shown that for algebras over a field $k$ with $char(k)=0$, periodic cyclic homology may be regarded, in some sense, as the derived functor of (non-commutative) de Rham (co-)homology. The purpose of this paper is to formalize this derived functor analogy. We show that the localization ${Def}^{-1}\Cal{PA}$ of the category $\Cal{PA}$ of countable pro-algebras at the class of (infinitesimal) deformations exists (in any characteristic) (Theorem 3.2) and that, in characteristic zero, periodic cyclic homology is the derived functor of de Rham cohomology with respect to this localization (Corollary 5.4). We also compute the derived functor of rational $K$-theory for algebras over $\Bbb Q$, which we show is essentially the fiber of the Chern character to negative cyclic homology (Theorem 6.2).

연구 동기 및 목표

• Cuntz와 Quillen이 제안한 주기적 순환 homology와 de Rham cohomology 사이의 유도 함수 유사성을 형식화하는 것.
• 임의의 특성에서 무한소 변형의 클래스에 대해 가산 프로-대수의 범주 $\mathcal{PA}$의 국소화 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$의 존재를 확립하는 것.
• 특성 0에서, 주기적 순환 homology가 이 국소화에 대해 de Rham cohomology의 유도 함수임을 보이는 것.
• 체 $\mathbb{Q}$ 위의 대수에 대해 유리수 K-theory의 유도 함수를 계산하고, 음의 순환 homology로 가는 채르니 캐릭터의 필터로 식별하는 것.
• nil-호모토피 동치와 그들이 비가환 대수기하학의 호모토피적 구조를 모델링하는 데 수행하는 역할을 도입하고 분석하는 것.

제안 방법

• 가산 프로-대수의 범주 $\mathcal{PA}$의 국소화 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$를 무한소 변형의 클래스에 대해 구축하고, 모델 유사 구조를 통해 그 존재성을 증명한다.
• 강한 및 약한 nil-호모토피 동치를 프로-대수 준동형사상 간에 도입하며, 이는 모델 범주에서의 약한 동치와 유사하다.
• $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$가 약한 nil-호모토피 동치에 대한 국소화와 동형이며, 강한 nil-호모토피 동치에 대해 준자기 프로-대수의 국소화와 동치임을 보인다.
• 프로-거듭제곱 급수 확장에 대해 불변인 함자 $\mathcal{PA} \to \mathcal{C}$를 Poincaré 함자로 정의하여 왼쪽 유도 함자의 존재를 보장한다.
• 프로-대수에 대해 $X$-복합체 구조를 사용하여 호모로지 군을 계산하고, 특히 거듭제곱 프로-대수 $P_A(V)$에 대해 호모토피 동치를 확립한다.
• $\varprojlim^1$에 대한 호환성 정리를 적용하여 음의 순환 homology 공간 $SN(f)$의 호모토피 군을 계산하고, 이것이 Eilenberg-MacLane 공간임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0에서 주기적 순환 homology와 de Rham cohomology 사이의 비형식적인 유도 함수 유사성을 형식적으로 확립할 수 있는가?
• RQ2 임의의 특성에서 무한소 변형에 대해 가산 프로-대수의 범주 $\mathcal{PA}$의 국소화 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$가 존재하는가?
• RQ3 이 비모델 범주 설정에서 왼쪽 유도 함자의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 유리수 $K$-theory의 유도 함수는 음의 순환 homology와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 사영 $P_A(V) \to A$에 대해 음의 순환 homology 공간 $SN(f)$의 호모토피 유형은 무엇인가?

주요 결과

• 무한소 변형의 클래스에 대해 가산 프로-대수의 범주 $\mathcal{PA}$의 국소화 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$는 임의의 특성에서 존재하며, 이는 정리 3.2에서 증명되었다.
• 특성 0에서, 주기적 순환 homology는 국소화 $\mathrm{Def}^{-1}\mathcal{PA}$에 대해 de Rham cohomology의 유도 함수이다. 이는 추론 5.4에서 보였다.
• 체 $\mathbb{Q}$ 위의 대수에 대해 유리수 $K$-theory의 유도 함수는 음의 순환 homology로 가는 채르니 캐릭터 맵의 필터와 동형이며, 이는 정리 6.2에 기록되어 있다.
• 준자기 대수 $A$와 벡수공간 $V$에 대해, 사영 $f: P_A(V) \to A$의 음의 순환 homology 공간 $SN(f)$는 Eilenberg-MacLane 공간 $E(\Upsilon(A,V),1)$이다. 여기서 $\Upsilon(A,V)$는 명시적인 공변 공간의 아벨 군이다.
• 프로-계열에서의 구조 사상의 상사상성으로 인해, $SN(f)$의 호모토피 군에 대한 $\varprojlim^1$ 항목이 0이 된다. 이는 $n \geq 2$일 때 $\pi_n(SN(f)) \cong \varprojlim H_n(f_i)$임을 보장한다.
• 함자 $A \mapsto SN^\prime(A)$는 Poincaré 이며, 그 왼쪽 유도 함자는 동치가 0임을 추론 6.9에서 보였다. 반면 $A \mapsto SN(A)$는 Poincaré가 아니다.