[논문 리뷰] On the dichotomy of a locally compact semitopological bicyclic monoid with adjoined zero

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 0을 첨가한 하우스도르프 국소 콪크 토폴로지적 이중치크 모노이드가 컴팩트이거나 이산임을 증명하며, 위어의 정리와 유사한 이분법 결과를 일반화한다. 증명은 몫 사상, 컴팩트 이상, Din’N’e T’ong의 정리를 사용하여 비열린 컴팩트 이상이 컴팩트성을 유도함을 보이며, Čech-완전한 매트릭가능한 역반군에 대한 반례를 제시하여 결과가 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that a Hausdorff locally compact semitopological bicyclic semigroup with adjoined zero $\mathscr{C}^0$ is either compact or discrete. Also we show that the similar statement holds for a locally compact semitopological bicyclic semigroup with an adjoined compact ideal and construct an example which witnesses that a counterpart of the statements does not hold when $\mathscr{C}^0$ is a Čech-complete metrizable topological inverse semigroup.

연구 동기 및 목표

• 국소 콩크 토폴로지적 이중치크 모노이드에 0을 첨가한 경우에 대해 위어의 정리와 유사한 위상 이분법을 확립하는 것.
• 0 대신 컴팩트 이상을 가진 토폴로지적 반군에서 이분법이 유지되는지 조사하는 것.
• Čech-완전한 매트릭가능한 위상 역반군의 클래스에서 이분법의 한계를 규명하기 위해 반례를 구성하는 것.
• 이중치크 모노이드의 폐포 및 이상 구조에 관한 이전 결과를 위상 반군에서 일반화하는 것.
• 유전적 몫 사상과 몫 위상이 국소 콩크성과 토폴로지적 구조를 유지하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 컴팩트 이상을 가진 반군을 이중치크 모노이드에 0을 첨가한 몫과 동형인 몫으로 줄이는 Rees 몫 구성법을 사용한다.
• 원래 반군이 국소 콩크이고 이상이 컴팩트일 경우, 몫 공간이 국소 콩크 하우스도르프임을 도출하기 위해 Din’N’e T’ong의 정리를 적용한다.
• 유전적 몫 사상 성질을 활용하여 몫 위상이 국소 콩크성과 분리 공리계를 유지함을 보장한다.
• 이중치크 모노이드의 고립점 성질을 활용하여 이상의 열린 근방의 여집합이 몫에서 닫힘과 이산임을 증명한다.
• 여집합이 몫 사상 아래에서 유한한 이미지를 가지므로, 이상이 열리지 않을 경우 원래 공간이 컴팩트임을 유추한다.
• Čech-완전한 매트릭가능한 위상 역반군을 사용하여 반례를 구성함으로써, 이 분류법이 이 설정에서는 성립하지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 콩크 토폴로지적 이중치크 모노이드에 0을 첨가한 경우, 어떤 위상 조건에서 컴팩트 또는 이산의 이분법이 성립하는가?
• RQ2 0 대신 컴팩트 이상을 가진 토폴로지적 반군에서 이분법이 유지되는가?
• RQ3 Čech-완전한 매트릭가능한 위상 역반군으로서의 이분법을 확장할 수 있는가?
• RQ4 몫 사상과 유전적 몫 사상은 토폴로지적 반군에서 국소 콩크성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이중치크 모노이드의 밀도 있는 부분반군의 구조는 국소 콩크 토폴로지적 반군에서 폐포 및 이상 구조와 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 하우스도르프 국소 콩크 토폴로지적 이중치크 모노이드에 0을 첨가한 것은 컴팩트이거나 이산이다.
• 유사한 이분법은 컴팩트 이상을 첨가한 국소 콩크 토폴로지적 이중치크 반군에도 성립한다.
• 컴팩트 이상에 대한 반군에서 Rees 몫에 대한 자연스러운 몫 사상은 유전적 몫 사상이다.
• 만약 컴팩트 이상이 열리지 않으면 몫 공간은 컴팩트이며, 이는 원래 공간이 컴팩트임을 강제한다.
• 증명은 몫 공간이 국소 콩크 하우스도르프임을 결론짓기 위해 Din’N’e T’ong의 정리를 활용한다.
• 반례는 이분법이 Čech-완전한 매트릭가능한 위상 역반군에서는 성립하지 않음을 보이며, 국소 콩크성 가정의 필요성을 입증한다.