[논문 리뷰] On the digital representation of integers with bounded prime factors

Yann Bugeaud|Osaka City University (Osaka City University)|2016. 09. 26.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주어진 밑 $b$ 에서 소인수가 유계인 정수의 디지털 표현을 조사하며, 밑 $b$ 로 나누어떨어지지 않고 작은 소인수만으로 이루어진 큰 정수는 그 밑 $b$ 전개에서 적어도 네 개의 비영원소를 가져야 한다고 보여준다. 디오판틴 추측의 도구—특히 로그의 선형형식과 샤미드 하위공간 정리—를 사용하여 이러한 정수의 최대 소인수에 대한 효과적인 하한을 확립하며, 이 하한이 $\log\log n$ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 증가함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $b \ge 2$ be an integer. Not much is known on the representation in base $b$ of prime numbers or of numbers whose prime factors belong to a given, finite set. Among other results, we establish that any sufficiently large integer which is not a multiple of $b$ and has only small (in a suitable sense) prime factors has at least four nonzero digits in its representation in base $b$.

연구 동기 및 목표

• 기본 $b$ 전개에서 소인수가 작은 정수와 비영원소가 적은 정수가 임의로 클 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 주어진 밑에서 비영원소가 적은 정수의 최대 소인수에 대한 효과적인 하한을 설정하는 것.
• 이중 및 삼중 형식에 대한 기존 결과를 세 개의 비영원소 경우로 확장하기 위해 고급 디오판틴 추측 기법을 사용하는 것.
• 이러한 정수의 최대 소인수 성장률에 대한 명시적이고 계산 가능한 하한을 제공하여 샤미드 하위공간 정리에서 도출된 정성적 결과를 개선하는 것.

제안 방법

• 최대 $k$ 개의 비영원소를 가진 정수의 $S$-부분이 수의 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 증가함을 보여주기 위해 샤미드 하위공간 정리를 적용함으로써, 최대 소인수가 무한히 커짐을 암시함.
• 기본 $b$ 전개에서 정확히 세 개의 비영원소를 가진 정수의 최대 소인수에 대한 효과적인 하한을 도출하기 위해 로그의 선형형식을 사용함.
• 세 개의 로그에 대한 선형형식 이론을 활용하여 이러한 수의 $S$-부분 크기를 추정하며, 형태 $[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$ 의 파wr 세이빙 하한을 도출함.
• 증명에서 산술기하평균 부등식을 적용하여 $u_j^{(3)}$ 의 제곱-free 부분에 대한 하한을 도출함으로써 최대 소인수에 대한 결과를 강화함.
• 소수 정리의 추정과 로그의 하한을 조합하여 수의 크기와 그 최대 소인수 성장률 간의 관계를 유도함.
• 기본 $b$ 와 허용된 소인수 집합 $S$ 에만 의존하는 효과적인 상수를 도출함으로써, 모든 상수가 계산 가능하고 모든 충분히 큰 색인 $j$ 에 대해 균일하게 성립함을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 $b$ 에서 나누어떨어지지 않고 작은 소인수만으로 이루어진 정수가 비영원소가 두 개 또는 세 개뿐인 표현을 가질 수 있는가?
• RQ2 수가 커질수록 이러한 정수의 최대 소인수 성장률은 어떻게 되는가?
• RQ3 기본 $b$ 전개에서 정확히 세 개의 비영원소를 가진 정수의 최대 소인수에 대해 효과적인 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 이러한 정수의 $S$-부분(고정된 집합 $S$ 에서 온 소인수의 거듭제곱의 곱)은 전체 수와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 약간의 서로소 조건을 가정할 때, 결과를 $a^m + b^n + 1$ 과 같은 더 일반적인 형식으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 기본 $b \geq 2$ 와 소수의 유한 집합 $S$ 에 대해, 기본 $b$ 전개에서 최대 세 개의 비영원소를 가진 큰 정수 $u_j^{(3)}$ 는 $[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$ 를 만족하며, 여기서 $c_4 > 0$ 는 $b$ 와 $S$ 에 따라 효과적으로 계산 가능한 상수이다.
• 이러한 정수의 최대 소인수는 모든 충분히 큰 $j$ 에 대해 $P[u_j^{(3)}] > (1 - \varepsilon) \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}$ 를 만족하며, 여기서 상수 $\varepsilon$ 와 $b$ 에 따라 효과적으로 계산 가능하다.
• 기본 $b$ 로 나누어떨어지지 않고 $\left(1 - \varepsilon\right) \log\log n \cdot \frac{\log\log\log n}{\log\log\log\log n}$-스무스인 모든 정수 $n > n_0$ 는 기본 $b$ 전개에서 적어도 네 개의 비영원소를 가져야 한다.
• 큰 $j$ 에 대해 제곱-free 부분 $Q[u_j^{(3)}]$ 는 $Q[u_j^{(3)}] > \exp\left(c_1 \cdot \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}\right)$ 를 만족하며, 여기서 $c_1 > 0$ 는 $b$ 에만 의존하는 효과적인 상수이다.
• 증명 과정에서 얻어진 지수 $c_4$ 의 허용 가능한 값이 매우 작아, $S$-부분에 대한 강력한 파워 세이빙 하한이 있음을 시사한다.
• 결과는 효과적이다: 모든 상수는 $b$ 와 $S$ 에서만 계산 가능하며, 모든 충분히 큰 색인 $j$ 에 대해 균일하게 성립한다.