[논문 리뷰] On the directions determined by Cartesian products and the clique number of generalized Paley graphs

Chi Hoi Yip|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 21인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 소수 거듭제곱 순서를 가진 유한체 위의 애핀 갈로아 평면에서 카르테시안 곱의 방향에 관한 결과를 확장하여, 일반화된 펠레이 그래프의 클리크 수의 상한을 향상시키는 새로운 하한을 증명한다. 기존의 √q 상한을 개선하며, 삼차 펠레이 그래프의 경우 0.769√q + 1로 감소시키고, 거의 모든 비제곱수 q에 대해 h(x) = o(x)에 대해 √q − h(q)로 개선한다. 이를 위해 등분포성과 레데이 유형 다항식 방법을 사용한다.

ABSTRACT

It is known that the number of directions formed by a Cartesian product $A imes B \subset AG(2,p)$ is at least $|A||B| - \min\{|A|,|B|\} + 2$, provided $p$ is prime and $|A||B|

연구 동기 및 목표

• AG(2,p)에서의 카르테시안 곱에 의해 결정되는 방향 수에 대한 기존 하한을 소수 거듭제곱 순서 q에 대해 AG(2,q)로 확장한다.
• F_q 위의 일반화된 펠레이 그래프의 클리크 수에 대한 기존의 √q 상한을 향상시킨다.
• 삼차 펠레이 그래프에 대해 더 날카로운 상한을 확립하여, 기존의 √q 상한을 0.769√q + 1로 감소시킨다.
• 모든 h(x) = o(x)에 대해, 거의 모든 비제곱수 q에 대해 클리크 수가 √q − h(q) 이하임을 보인다.
• 레데이 다항식과 등분포성 추론을 통해 카르테시안 곱의 방향 수와 클리크 수 사이의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 소수 거듭제곱 순서의 유한체로 [3]의 보조정리 1.5를 일반화하며, 다항식 인수분해와 상대적 소수 조건을 사용한다.
• 레데이 다항식과 쇤요니의 확장을 적용하여 A×B ⊂ AG(2,q)에서의 방향 집합의 구조를 분석한다.
• 일반화된 펠레이 그래프의 클리크에서 방향은 반드시 d제곱 또는 ∞여야 하므로 가능한 방향 수가 제한됨을 이용한다.
• 특정 산술적 등차수열에 속하는 소수의 {p^{r−1/2}} 모듈로 1의 등분포성을 이용하여 예외 케이스의 조밀도를 제어한다.
• 방향 수의 제약 조건을 도출하기 위해 정리 1.6의 방향 수 상한과 정리 6.5를 조합하여 p로 나누어지는 조건을 유도한다.
• 점근적 분석과 o(x) 조건을 사용하여, 개선된 상한에 실패하는 소수의 집합이 상대 밀도가 0임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q가 소수 거듭제곱일 때, AG(2,q)에서 카르테시안 곱 A×B에 의해 결정되는 최소 방향 수는 얼마인가?
• RQ2 방향 수 상한을 어떻게 활용하여 일반화된 펠레이 그래프의 클리크 수 상한을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 삼차 펠레이 그래프(F_q 위)에서 클리크 수에 대한 기존의 √q 상한을 개선할 수 있는가?
• RQ4 특히 비제곱수일 경우, h(x) = o(x)에 대해 클리크 수가 √q − h(q) 이하로 유계임을 보일 수 있는 q의 밀도는 어떤가?
• RQ5 p^{r−1/2}의 분수부의 등분포성이 거의 모든 경우에 대한 클리크 수 상한을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• |A||B| < q일 경우, AG(2,q)의 A×B ⊂ AG(2,q)에 의해 결정되는 방향 수는 |A||B| − min{|A|,|B|} + 2 이상이며, 이는 AG(2,p)에서의 결과를 AG(2,q)로 확장한 것이다.
• 삼차 펠레이 그래프(d=3)의 경우, 클리크 수는 최대 0.769√q + 1이며, 이는 기존의 √q 상한을 개선한 것이다.
• 모든 함수 h(x) = o(x)에 대해, F_q 위의 일반화된 펠레이 그래프의 클리크 수는 거의 모든 비제곱수 q에 대해 √q − h(q) 이하이다.
• 개선된 상한에 실패하는 소수 p의 집합은 p ≡ 1 mod 2d 및 p^{2r+1} ≡ 1 mod 2d 를 만족하는 소수 집합에서 상대 밀도가 0이다.
• 증명은 클리크 수가 √q − h(p)를 초과하면, 어떤 연속 정수의 구간 안에 반드시 p의 배수가 존재해야 한다는 점에 기반하며, 이는 등분포성으로 인해 희귀한 일이다.
• 핵심 기술적 통찰은 {p^{r−1/2}}의 분수부가 모듈로 1에 대해 등분포되어 있으며, 이는 상한에 실패할 수 있는 예외적 소수의 측도를 제한한다.