[논문 리뷰] On the distance from a matrix polynomial to matrix polynomials with two prescribed eigenvalues

E. Kokabifar, Ghasem Barid Loghmani외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 02.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 행렬 다항식의 고유값 섭동 이론을 이전 연구의 결과를 확장하여, 두 개의 고정된 서로 다른 고유값을 갖는 다항식의 집합으로부터의 스펙트럼 노름 거리에 대해 하한과 상한을 제안한다. 특이값과 최적화를 기반으로 한 새로운 섭동 구성 기법을 통해 진짜 거리가 엄밀하게 둘러싸이는 경계를 계산하며, 목표 고유값을 달성하는 명시적 섭동을 통한 수치적 예제로 검증된다.

ABSTRACT

Consider an $n imes n$ matrix polynomial $P(λ)$. A spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of $n imes n$ matrix polynomials that have a given scalar $μ\in\mathbb{C}$ as a multiple eigenvalue was introduced and obtained by Papathanasiou and Psarrakos. They computed lower and upper bounds for this distance, constructing an associated perturbation of $P(λ)$. In this paper, we extend this result to the case of two given distinct complex numbers $μ_{1}$ and $μ_{2}$. First, we compute a lower bound for the spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of matrix polynomials that have $μ_1,μ_2$ as two eigenvalues. Then we construct an associated perturbation of $P(λ)$, such that the perturbed matrix polynomial has two given scalars $μ_1$ and $μ_2$ in its spectrum. Finally, we derive an upper bound for the distance by the constructed perturbation of $P(λ)$. Numerical examples are provided to illustrate the validity of the method.

연구 동기 및 목표

• 행렬 다항식의 거리 문제를 다수의 고유값으로 일반화하며, 특히 두 개의 서로 다른 복소수 고유값에 대해 다룬다.
• 두 개의 고정된 고유값을 갖는 다항식의 집합으로부터의 스펙트럼 노름 거리에 대해 계산 가능한 하한과 상한을 계산한다.
• 목표 고유값을 갖는 다항식으로 변형되면서 유도된 거리 경계 내에 머무르는 행렬 다항식의 명시적 섭동을 구성한다.
• 수치적 예제를 통해 경계의 엄밀성과 섭동의 정확성을 검증한다.

제안 방법

• 행렬 다항식 $ P(\lambda) $ 와 두 개의 고정된 서로 다른 고유값 $ \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{C} $ 를 갖는 $ n\times n $ 행렬 다항식의 집합 $ \mathcal{P}_{\mu_1,\mu_2} $ 사이의 스펙트럼 노름 거리를 도입한다.
• 매개변수 $ \gamma $ 를 가진 구조적 행렬 $ F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma] $ 의 특이값 분석을 통해 거리의 하한을 유도한다.
• 섭동된 다항식 $ Q(\lambda) = P(\lambda) + \Delta(\lambda) $ 가 $ \mu_1 $ 과 $ \mu_2 $ 를 고유값으로 갖도록 하는 관련된 섭동 $ \Delta(\lambda) $ 를 구성한다.
• MATLAB의 fminsearch를 활용한 최적화를 통해 특이값 함수 $ s_k(F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma]) $ 를 최소화하는 $ \gamma_* $ 를 찾으며, 이로 인해 엄밀한 경계 계산이 가능해진다.
• 계수별 섭동의 노름을 제어하기 위해 비음수 가중치 $ w_j $ 를 갖는 가중치가 부여된 섭동 집합 $ \mathcal{B}(P, \varepsilon, w) $ 를 적용한다.
• 명시적 섭동 $ \Delta_{\gamma_*}(\lambda) $ 를 구성함으로써, 이들이 섭동 집합의 경계상에 위치하고 목표 고유값을 달성함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 행렬 다항식으로부터 두 개의 고정된 서로 다른 고유값을 갖는 다항식의 집합으로의 스펙트럼 노름 거리는 무엇인가?
• RQ2 특이값 분석과 최적화를 통해 이 거리에 대한 엄밀한 하한과 상한을 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 목표 고유값을 갖는 다항식으로 변형되며, 계산된 거리 경계 내에 머무르는 행렬 다항식의 명시적 섭동을 구성할 수 있는가?
• RQ4 최적화 매개변수 $ \gamma_* $ 가 0인 경우와 양수인 경우 경계의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 계산된 경계가 얼마나 최적에 가까운가? 어떤 조건에서 최적 경계를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤하게 생성된 계수를 갖는 $ 2\times 2 $ 행렬 다항식에 대해 하한은 $ \beta_{\text{low}} = 0.0376 $ 이고 상한은 $ \beta_{\text{up}} = 0.2847 $ 였으며, $ \gamma_* = 1.8914 $ 로서 진짜 거리가 경계에 엄밀히 둘러싸여 있음을 확인하였다.
• 구성된 섭동 $ \Delta_{1.8914}(\lambda) $ 는 $ \mu_1 = 1 $ 과 $ \mu_2 = 2+i $ 를 고유값으로 갖는 다항식 $ Q_{1.8914}(\lambda) $ 를 성공적으로 생성하였으며, 이는 섭동 집합의 경계상에 위치하였다.
• $ \gamma_* = 0 $ 인 경우, 방법은 노름이 $ \|\Delta_0\| \approx 4.1545 $ 인 섭동 $ \Delta_0 $ 를 생성하였고, 섭동된 다항식의 고유값은 $ \mu_1 = 5 $ 과 $ \mu_2 = -1 $ 로 나타나 방법의 강건성을 확인하였다.
• 특이값 $ s_3(F[P(1,2+i); \gamma_*]) = 4.1132 $ 가 $ \gamma_* = 1.8914 $ 에서 최소화되어, 경계 계산에 최적의 매개변수 선택이 이루어졌음을 나타내었다.
• 보조정리 2.5와推론 2.6의 검증 결과 잔차 노름이 각각 $ 1.5612 \times 10^{-5} $ 과 $ 2.9886 \times 10^{-5} $ 로 나타나 이론적 일致성을 확인하였다.
• 경계가 반드시 최적은 아니지만, 진짜 거리 $ \mathcal{D}(P,\mu_1,\mu_2) $ 는 반드시 $ [\beta_{\text{low}}, \beta_{\text{up}}] $ 내에 존재하며, $ \gamma_* $ 가 최적화될수록 이 간격이 좁아진다.