[논문 리뷰] On the distribution of extreme values of zeta and $L$-functions in the strip $1/2<\sigma<1$

Youness Lamzouri|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 25.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임계대 $1/2 < \sigma < 1$ 에서 제타함수와 L-함수의 극값의 정확한 분포를 규명하며, $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 의 큰 값들이 무작위 오일러乘수로 잘 모델링됨을 보여준다. 尾확률 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 는 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 에서 균일하게 $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \right)$ 로 감소함을 증명하며, 이는 몬고메리의 $\zeta(\sigma + it)$ 의 극값 순서에 대한 추측을 지지한다.

ABSTRACT

We study the distribution of large (and small) values of several families of $L$-functions on a line $ ext{Re(s)}=\sigma$ where $1/2<\sigma<1$. We consider the Riemann zeta function $\zeta(s)$ in the $t$-aspect, Dirichlet $L$-functions in the $q$-aspect, and $L$-functions attached to primitive holomorphic cusp forms of weight $2$ in the level aspect. For each family we show that the $L$-values can be very well modeled by an adequate random Euler product, uniformly in a wide range. We also prove new $\Omega$-results for quadratic Dirichlet $L$-functions (predicted to be best possible by the probabilistic model) conditionally on GRH, and other results related to large moments of $\zeta(\sigma+it)$.

연구 동기 및 목표

• 임계대 $1/2 < \sigma < 1$ 에서 $\zeta(s)$ 와 관련된 $L$-함수의 극값 분포를 이해하는 것.
• 단위원 위에 균일하게 분포하는 $X(p)$ 를 갖는 확률적 무작위 오일러乘수 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$ 를 사용하여 $\log |L(\sigma + it)|$ 의 분포를 모델링하는 것.
• 넓은 범위의 $\tau$ 에서 $\Phi_T(\sigma, \tau) = \frac{1}{T} \operatorname{meas}\{ t \in [T,2T] : \log |\zeta(\sigma + it)| \geq \tau \}$ 의 꼬리 확률에 대한 날카로운 渐近적 추정을 수립하는 것.
• GRH 하에 이차 딜리클 $L$-함수에 대한 새로운 $\Omega$-결과를 증명하고, $\zeta(\sigma + it)$ 의 고차모멘트의 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 확률 모델을 사용: 단위원 위에 균일하게 분포하는 $X(p)$ 를 갖는 무작위 오일러乘수 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$ 를 사용하며, $\sigma > 1/2$ 에서 거의확실하게 수렴한다.
• $A_1(\sigma)$ 는 수정된 비제르 함수 $I_0(u)$ 의 기능으로 정의되며, $\mathbb{E}[e^{uX}] = I_0(u)$ 에서 유래되며, 이는 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 의 꼬리 감소를 모델링하는 데 사용된다.
• 모멘트 비교 기법을 적용하여, 부분합 $\sum_{n \leq x} X(n)/n^\sigma$ 와 전체 $\zeta(\sigma, X)$ 사이의 차이를 민코프스키 부등식과 尾추정을 사용해 유계화한다.
• 레마 2.1 을 통한 지수모멘트 부등식과 $\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ 에 대한 추정을 사용하여, $\zeta(\sigma + it)$ 의 2k차 모멘트를 절단된 합으로 근사할 때의 오차를 통제한다.
• 횔더 부등식과 $\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ 의 수렴성을 이용하여 절단된 합과 무작위 모델의 전체 모멘트를 연결한다.
• 모멘트의 전이 영역인 $k \approx (\log T)^\sigma$ 에서 분석하여, 이 범위를 초과하면 부분합 근사의 오차가 증가함으로써 방법이 붕괴됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계대에서 $1/2 < \sigma < 1$ 인 $\zeta(\sigma + it)$ 의 극값은 $T \to \infty$ 일 때 어떻게 분포하는가?
• RQ2 무작위 오일러乘수 모델이 $\sigma \in (1/2, 1)$ 에서 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 의 분포를 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ3 범위 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 에서 큰 $\tau$ 에 대해 꼬리 확률 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 의 정확한 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ4 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 의 감소율이 몬고메리의 $\Omega$-결과에서 예측한 순서와 일치하는가, 그리고 이는 균일하게 증명될 수 있는가?
• RQ5 $\zeta(\sigma + it)$ 의 모멘트 渐近적 행동의 유효 범위는 무엇이며, 무작위 오일러乘수의 꼬리 성분 증가로 인해 방법이 어디서 붕괴되는가?

주요 결과

• 꼬리 확률 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 는 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 에서 균일하게 $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \left(1 + O\left( \frac{1}{\sqrt{\log \tau}} + r(\log T, \tau) \right) \right) \right)$ 로 감소하며, $A_1(\sigma)$ 는 수정된 비제르 함수 $I_0(u)$ 에서 유도된다.
• 동일한 渐近적 형태는 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 의 왼쪽 꼬리와 $\arg \zeta(\sigma + it)$ 의 분포에도 적용되며, 극값 행동의 대칭성을 보여준다.
• 이 방법은 무작위 오일러乘수 모델이 임계대에서 $\zeta(\sigma + it)$ 의 분포를 정확히 포괄함을 확인하며, 몬고메리의 추측에 대한 확률적 직관을 지지한다.
• $\zeta(\sigma + it)$ 의 2k차 모멘트에 대해 $\mathbb{E}[|\zeta(\sigma + it)|^{2k}] \sim \sum_{n=1}^\infty d_k(n)^2 n^{-2\sigma}$ 는 $k \leq c((2\sigma - 1)\log T)^\sigma$ 에서 균일하게 성립하며, 오차는 $\ll \exp\left( -\frac{\log T}{10k \log_2 T} \right)$ 이다.
• 이 방법은 $k \geq C(\log T \log_2 T)^\sigma$ 에서는 실패하며, 이는 절단된 합이 더 이상 전체 모멘트를 잘 근사하지 못하게 되고 꼬리 기여가 증가하기 때문이다.
• GRH 하에 이차 딜리클 $L$-함수에 대한 새로운 $\Omega$-결과가 조건적으로 증명되었으며, 이는 확률 모델의 예측과 일치하며 경계의 최적성을 시사한다.