[논문 리뷰] On the distribution of gaps between consecutive primes

J. Pintz|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 특정한 천천히 증가하는 함수 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $, 여기서 $ g(n) = \frac{\log_2 n \log_4 n}{(\log_3 n)^2} $ 인 경우, $ d_n / f(n) $ 의 극한점 집합이 구간 $[0, c_f] $ 을 포함하며, 급격히 증가하는 함수의 수열에 대해서는 극한점 집합이 $[0, \infty) $ 으로 전체가 된다는 것을 증명한다. 이는 에르되시의 추측을 개선하며, 메이내의 유한 간격 작업에 영감을 받은 정교한 체법을 사용하여, 수정된 정규화 함수 $ f(n) $ 를 사용하더라도 소수 간격 행동의 전체 범위가 여전히 포괄됨을 보여준다.

ABSTRACT

Erdös conjectured that the set J of limit points of d_n/logn contains all nonnegative numbers, where d_n denotes the nth primegap. The author proved a year ago (arXiv: 1305.6289) that J contains an interval of type [0,c] with a positive ineffective value c. In the present work we extend this result for a large class of normalizing functions. The only essential requirement is that the function f(n) replacing logn should satisfy f(n)<

연구 동기 및 목표

• 에르되시의 추측 — $ d_n / \log n $ 의 극한점 집합이 $[0, \infty] $ 이다 — 를 검토하는 것
• 큰 소수 간격을 제한하는 에르되시–랭킨 함수 $ g(n) $ 가 $ d_n $ 를 정규화하는 데 사용될 수 있는지, 그리고 $ d_n / f(n) $ 의 극한점 집합이 $[0, \infty)$ 가 되는지 확인하는 것
• 뱅크스, 프라이버그, 메이내의 방법을 확장하여, $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 인 모든 함수에 대해 여전히 양의 측도를 가진 극한점 집합이 존재함을 보이는 것
• 충분히 빠르게 증가하는 함수 수열 $ f_i(n) $ 에 대해, $ d_n / f_i(n) $ 의 극한점 집합이 유한한 수의 함수를 제외하고는 전체 $[0, \infty)$ 가 되는지 보여주는 것
• 특정 이동을 걸러내지 않는 새로운 효과적인 체법을 제공하여, 기대되는 소수 튜플의 수를 유지하는 것

제안 방법

• 메이내의 2014년 돌풍적 성과에 영감을 받은 수정된 체법을 사용하며, 고정된 이동 $ h_i^* $ 를 걸러내는 소수 $ q $ 를 피하기 위해 확률 $ \mu_{1,q}^*(a) $ 를 조정한다
• 특정 잔여류 $ a \mod q $ 가 $ n + h_i^* \equiv 0 \mod q $ 를 유도할 경우, 이에 대한 확률을 0으로 설정함으로써 $ h_i^* $ 가 제거되지 않도록 보장한다 (식 (6.16)의 조건)
• 남은 확률을 $ \alpha_{1,q}^* / \alpha_{1,q} $ 로 재규격화하여 정규화를 유지하면서 기대되는 선택된 소수의 수를 증가시킨다
• 이 방법을 적용하여 대부분의 소수 $ p_0 \notin \mathcal{H}^* $ 에 대해 $ \sum_q \mu_{1,q}^*(p_0) \gg \delta \log k $ 가 여전히 큰 값을 유지함을 보여준다. 이는 $ O(1) $ 개의 항을 제외한 후에도 성립한다
• 각 $ p_0 \equiv h_i^* \mod q $ 는 최대 하나의 $ q \in [x/2, x] $ 에서만 성립할 수 있으므로, 영향을 받는 항의 수가 제한됨을 이용한다
• 함수 수열 $ f_i(n) $ 에 대해 $ f_{i+1}/f_i \to \infty $ 를 만족할 경우, 이 방법을 적용하여 유한한 수의 함수를 제외하고는 모든 $ f_i $ 가 $ J_{f_i} = [0, \infty) $ 를 만족함을 보여준다

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르되시–랭킨 함수 $ g(n) $ 가 소수 간격 $ d_n $ 를 정규화하는 데 사용될 수 있는가? 이 경우 $ d_n / f(n) $ 의 극한점 집합이 $[0, c_f] $ 을 포함하는가?
• RQ2 어느 함수 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 에 대해 집합 $ J_f = \{ d_n / f(n) \}' $ 가 $[0, c_f] $ 을 포함하는가?
• RQ3 원래의 에르되시 추측 $ J_{\log n} = [0, \infty] $ 는 천천히 변화하는 정규화 함수 $ f(n) $ 를 사용하여 근사하거나 대체할 수 있는가?
• RQ4 뱅크스, 프라이버그, 메이내의 방법이 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 인 함수로까지 확장되어 양의 측도 결과를 유지하는가?
• RQ5 빠르게 증가하는 수열 $ \{f_i\} $ 에서 유한한 수의 함수를 제외하고는 $ J_f $ 가 $[0, \infty) $ 과 동일하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 모든 함수 $ f(n) \nearrow \infty $ 가 (1.5) 를 만족하고 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 를 만족할 경우, 비효율적 상수 $ c_f $ 가 존재하여 $[0, c_f] \subset J_f = \{ d_n / f(n) \}' $ 가 성립한다
• 수열 $ \{f_i\} $ 가 $ f_{i+1}/f_i \to \infty $ 를 만족할 경우, $ J_{f_i} = [0, \infty) $ 를 만족하지 못하는 함수 $ f_i $ 는 최대 98개 이하이다
• 이 방법을 통해 마이어의 1981년 결과를 새로운 방식으로 증명한다: $ \limsup_{h \to \infty} \frac{\min(d_{n+1}, \dots, d_{n+m})}{g(n) \log n} > 0 $
• 모든 이러한 $ f $ 에 대해 $ J_f $ 에 속하는 음이 아닌 실수의 비율이 2% 이상이며, 이는 뱅크스, 프라이버그, 메이내의 결과를 확장한다
• 특정 조건 $ q_0 \mid \prod (d_i e_i) $ 를 만족할 경우 $ \lambda_{d_1,\dots,d_k,e_1,\dots,e_k} = 0 $ 으로 설정함으로써, $ 1 + o(1) $ 의 손실을 감수하면서도 효과적인 체법을 새롭게 구성한다
• 보조정리 1 은 $ f(n) $ 가 $ \eta(n) \log n \leq f(n) \leq \log n $ 를 만족하는 임의의 $ \eta(n) \to 0 $ 인 경우에도 $ J_f = [0, \infty) $ 가 성립할 수 있음을 보여준다