[논문 리뷰] On the Distribution of the Product and the Sum of Generalized Shifted Gamma Random Variables

Pushpa N. Rathie, Arjun K. Rathie외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 12.

Fuzzy Systems and Optimization인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 며칠 허브 함수의 멜린 변환에서 감마 함수를 허브 함수 자체로 대체함으로써 일반화된 허브 함수를 대체하는 새로운 특수 함수인 $̂{I}$ 함수를 도입한다. $̂{I}$ 함수는 이전에 표준 특수 함수로는 다루기 어려웠던 일반화된 이동 감마 랜덤 변수의 합과 곱의 확률 밀도 함수에 대한 닫힌 형태의 표현을 가능하게 하여 통계 모델링 및 확률 과정 분야의 분석 도구를 확장한다.

ABSTRACT

In general, while obtaining the probability density function of sums and products of shifted random variables, ordinary analytical methods such as Fourier and Mellin transforms tend to provide integrals which cannot be expressed in terms of ordinary Meijer G and H functions. This way, the need of defining new functions which easily enable one to write such integrals in a closed-form is inherent to the development of this area of statistical sciences. By generalizing the Mellin transform which defines the H function, a new function is established. A direct application of the so-called $\\widehat{I}$ is discussed while developing the probability density function of the sum and the product of shifted generalized gamma random variables. Important special cases of the $\\widehat{I}$ and their applications in science are also discussed in order to show the applicability of the function hereby defined.

연구 동기 및 목표

• 표준 특수 함수를 사용할 때 이동된 일반화된 감마 랜덤 변수의 합과 곱의 분포에 대해 닫힌 형태의 해가 부족한 문제를 해결한다.
• 푸리에 및 멜린 변환의 한계를 극복하여 이러한 분포를 고전적 메이저 G 및 H 함수의 형태로 표현하는 데 어려움을 해결한다.
• 이동된 랜덤 변수에서 발생하는 복잡한 적분을 표현할 수 있는 새로운 특수 함수의 클래스를 개발한다.
• 이론적 확률 밀도 함수를 유도하는 데 있어 $̂{I}$ 함수의 유용성을 입증한다.
• 기존 특수 함수인 H, I, Y 및 일반화된 상부 비완전 포크 H 함수와의 관계를 설정하여 $̂{I}$ 함수의 일반성과 적용 가능성에 대한 타당성을 확보한다.

제안 방법

• 멜린 변환의 integrand에 감마 함수 대신 H 함수를 포함하는 커프트 적분으로서 $̂{I}$ 함수를 정의한다.
• 복소 변수 $s$ 의 거듭제곱 함수에 승수를 취한 H 함수의 곱을 사용하여 $̂{I}$ 함수의 멜린 변환을 구성한다.
• 멜린 역전환 정리를 활용하여 $̂{I}$ 함수를 복소 평면상의 커프트 적분으로 표현한다.
• 멜린 변환 기법을 적용하여 일반화된 이동 감마 랜덤 변수의 합과 곱의 확률 밀도 함수를 도출한다.
• 매개수 특수화를 통해 H, I, Y 및 일반화된 상부 비완전 포크 H 함수가 모두 $̂{I}$ 함수의 특수 케이스로 나타남을 보여 $̂{I}$ 함수가 기존 함수를 일반화함을 입증한다.
• 더 넓은 매개수 설정과 더 높은 모델링의 자유도를 허용하기 위해 $̂{̂{I}}$ 함수라는 추가 일반화를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동된 일반화된 감마 랜덤 변수의 합과 곱의 확률 밀도 함수를 닫힌 형태로 표현할 수 있는 새로운 특수 함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 $̂{I}$ 함수가 H, I, Y 및 일반화된 상부 비완전 포크 H 함수와 같은 기존 특수 함수를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 표준 메이저 G 및 H 함수에 비해 $̂{I}$ 함수가 이동된 랜덤 변수를 다룰 때 가지는 분석적 및 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ4 무선 통신과 같은 실용적 맥락에서 $̂{I}$ 함수는 이전에 존재하던 함수들보다 더 정확하거나 다룰 수 있는 모델을 제공할 수 있는가?
• RQ5 $̂{I}$ 함수는 더 넓은 클래스의 확률 모델을 수용하기 위해 추가로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 이론적으로 $̂{I}$ 함수는 일반화된 이동 감마 랜덤 변수의 합과 곱의 확률 밀도 함수에 대해 닫힌 형태의 표현을 성공적으로 제공한다.
• $̂{I}$ 함수는 멜린 변환에서 감마 함수를 H 함수로 대체함으로써 H 함수를 일반화하며, 이는 계층적인 특수 함수의 클래스를 형성한다.
• 매개수 특수화를 통해 H 함수, I 함수, Y 함수, 일반화된 상부 비완전 포크 H 함수가 모두 $̂{I}$ 함수의 특수 케이스로 나타남을 입증하였다.
• $̂{I}$ 함수는 고전적 메이저 G 또는 H 함수로 표현할 수 없었던 합과 곱의 분포에 대해 정확한 표현식을 도출할 수 있음을 보여주었다.
• 실제 모델링에 적용 가능함이 입증되었으며, 예를 들어 다중 캐리어 레이일리 fading 채널에서의 아웃지 capacity 분석에서 이전의 비완전 포크 H 함수 기반 결과를 일반화하는 데 사용되었다.
• 더 높은 유연성과 더 넓은 적용 범위를 확보하기 위해 $̂{̂{I}}$ 함수라는 추가 일반화가 제안되었으며, 이는 고급 확률 모델링에 더욱 넓은 적용 가능성을 제공한다.