[논문 리뷰] On the distribution of zeros of the Hermite-Pade polynomials for three algebraic functions $1,f,f^2$ and the global topology of the Stokes lines for some differential equations of the third order

Sergey Pavlovich Suetin|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 26.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 큰 매개수를 가진 세 번째 차수 선형 미분방정식에서 스트로우스 선의 전역적 위상과 다섯 점에서 만날 수 있는 두 개의 판을 가진 최적 조건자에서의 평형 측도와 관련된, 세 함수 $1, f, f^2$에 대한 헤르미트-패드 다항식의 영점 분포 간의 연결 고리를 설정한다. 여기서 $f(z) = \prod_{j=1}^3 (z - a_j)^{\alpha_j}$이며, $\sum \alpha_j = 0$이다. 일반화된 고냐르치-라크만노프 방법과 $S$-대칭 판을 가진 조건자의 변분 문제를 이용하여, 영점 분포가 최적 조건자의 판과 교차하는 다섯 점인 분지점 $a_1,a_2,a_3$와 추가적인 두 점 $v_1$ (체보타레프 점) 및 $v_2 \neq v_1$에서의 평형 측도로 수렴함을 보이며, 이 수렴은 용량 수렴과 미분 가능성 유지 조건을 만족한다. 이 방법은 스트로우스 선을 제곱 미분형식의 임계 궤적과 연결하고, 세 겹의 리만 곡면에서 리우빌-그린 근사법을 통해 강한 점근적 표현을 도출한다.

ABSTRACT

The paper presents some heuristic results about the distribution of zeros of Hermite-Pade polynomials of first kind for the case of three functions $1,f,f^2$, where $f$ has the form $f(z): = \prod\limits_ {j = 1 } ^3 (z-a_j) ^ {α_j} $, $α_j \in \mathbb C\setminus \mathbb Z $, $ \sum \limits_ {j = 1 } ^ 3 α_j = 0 $, $ f (\infty) = 1 $. Answers are given in terms related to the problem of extreme minimum capacity of a plane Nuttall condenser, two plates of which intersect ("hooked" for each other) in a five points: the branch points $ a_1, a_2, a_3 $ of function $ f $, at $ v_1 = v $, where $ v = v (a_1, a_2, a_3) $ the Chebotarev point corresponding to triple points $ a_1, a_2, a_3 $, and another "unknown" at $ v_2 eq v_1, a_1, a_2, a_3 $ (see Fig1-Fig3). The connection between the distribution of zeros of Hermite-Pade polynomials and global topology of the Stokes lines and the asymptotic behavior of Liouville-Green solutions of a class of homogeneous linear differential equations of the third order containing a large parameter is the free term is established. The basic idea of the new and still heuristic approach is to reduce at first some theoretical potential vector equilibrium problem to the scalar problem with the external field, and then use the general method of Gonchar-Rakhmanov developed in 1987 for solving the Varga problem "about $ 1/9 $". It is supposed that in the general case of an arbitrary algebraic function $ f $ it is imposible to constract the Nuttall condenser for a set of three functions $ 1, f, f ^ 2 $ without the knowledge of the structure of the Stahl compact for function $ f $. Namely, the Nuttall condenser is constructed using Green's function $ g_ {D} (z, \infty) $ for the Stahl domain $ D $ and "core" of Stahl compact, which consists of "effective" branch points of $ f $ and corresponding Chebotarev points.

연구 동기 및 목표

• 세 함수 $1, f, f^2$에 대한 헤르미트-패드 다항식의 점근적 영점 분포를 조사한다. 여기서 $f$는 복소 지수를 가진 세 분지 대수적 함수이다.
• 이 영점 분포를 자유항에 큰 매개수를 가진 일련의 세 번째 차수 선형 미분방정식에서 스트로우스 선의 전역적 위상과 연결한다.
• 최적 조건자의 평형 측도와 다항식의 점근적 영점 분포 사이의 대응관계를 수립한다.
• 세 겹의 리만 곡면에서 리우빌-그린 근사법을 이용하여 헤르미트-패드 다항식과 나머지 함수의 강한 점근적 표현을 도출하는 방법을 개발한다.
• 영점 분포의 수렴이 미분에 대해 안정적임을 보여주며, 이는 강한 점근적 행동을 시사한다.

제안 방법

• 벡터 포텐셜 평형 문제를 외부 필드가 있는 스칼라 문제로 환원하여, '1/9 문제'를 해결하는 데 쓰인 고냐르치-라크만노프 접근법을 활용한다.
• 최적 조건자는 스탈 영역의 그린 함수와 스탈 컴acts의 '핵심'을 이용하여 구성되며, 여기에는 효과적인 분지점과 체보타레프 점 $v_1$이 포함된다.
• 최적 조건자의 판 $E$와 $F$는 제곱 미분형식 $\mathfrak{Q}(z)\,dz^2$의 임계 궤적의 폐쇄로 형성되며, 이전 연구에서의 것과 유사한 $S$-성질을 가진다.
• 점근적 영점 분포는 최적 조건자의 판 $F$ 위의 평형 측도 $\lambda_F$로 확인된다.
• 특성 방정식의 세 겹 리만 곡면 $\mathfrak{R}_3$이 구성되며, 이는 순수 허수 주기를 가진 제3종 아벨 적분 $\varphi(\mathbf{z})$의 정의를 가능하게 한다.
• 다른 겹에서의 세 개의 점근적으로 독립적인 리우빌-그린 근사 $\widetilde{w}_{n,1}, \widetilde{w}_{n,2}, \widetilde{w}_{n,3}$을 구성함으로써 강한 점근적 표현을 도출하며, 이들의 선형 조합은 미분방정식의 임의의 해를 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 지수의 합이 0인 세 분지 대수적 함수인 $f$에 대해, $1, f, f^2$에 대한 헤르미트-패드 다항식의 영점은 어떻게 분포하는가?
• RQ2 큰 매개수를 가진 세 번째 차수 선형 미분방정식에서 스트로우스 선의 위상과 함수 $f$에 대한 최적 조건자의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 헤르미트-패드 다항식의 점근적 영점 분포는 제곱 미분형식에서 유도된 특정 컴팩트 세트 위의 평형 측도로 특징지을 수 있는가?
• RQ4 조건자의 판의 $S$-성질은 제곱 미분형식의 임계 궤적과 스트로우스 선의 전역적 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 용량 수렴에서의 영점 분포 수렴이 미분 가능성을 유지하는 메커니즘은 무엇이며, 이는 어떻게 강한 점근적 공식을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 헤르미트-패드 다항식의 영점 분포는 제곱 미분형식의 임계 궤적의 폐쇄로 형성된 $S$-성질을 가진 최적 조건자의 판 위의 평형 측도 $\lambda_F$로 수렴한다.
• 최적 조건자는 두 판이 다섯 점에서 만난다: $f$의 세 분지점 $a_1, a_2, a_3$, 체보타레프 점 $v_1$, 그리고 추가적인 알려지지 않은 점 $v_2 \neq v_1, a_1, a_2, a_3$.
• 세 번째 차수 미분방정식의 스트로우스 선은 최적 조건자의 판 $E \cup F$를 이루는 해석적 호와 일치하며, 진행 경로는 특성 방정식의 세 겹 리만 곡면에서의 켤레 궤적이다.
• 영점 분포의 수렴은 용량 수렴이며, 이는 미분에 대해 안정적이며 강한 점근적 행동을 시사한다.
• 세 겹 리만 곡면의 각 겹에서 점근적으로 독립적인 세 개의 리우빌-그린 근사 $\widetilde{w}_{n,1}, \widetilde{w}_{n,2}, \widetilde{w}_{n,3}$이 구성되며, 이들의 선형 조합은 미분방정식의 임의의 해에 대한 점근적 근사를 제공한다.
• 이 방법은 스트로우스 선의 전역적 구조와 순수 허수 주기를 가진 아벨 적분을 기반으로 하여, 헤르미트-패드 다항식과 나머지 함수에 대한 명시적 강한 점근적 공식을 제공한다.