[논문 리뷰] On the Distributions of the Lengths of the Longest Increasing and Decreasing Subsequences in Random Words

Craig A. Tracy, Harold Widom|arXiv (Cornell University)|1999. 04. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 k개의 알파벳으로 이루어진 길이 N인 랜덤 워드에서 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열과 강하게 감소하는 부분수열의 길이의 지수 생성함수에 대한 토플리츠 행렬식 표현을 유도한다. 이들 분포가 파이놀레 V 초월함수에 의해 지배됨을 입증하고, 약하게 증가하는 경우는 라그에르 랜덤 행렬 집단의 가장 작은 고유값과 연결되며, N → ∞일 때의 극한 분포는 일반화된 유니터리 군의 가장 큰 고유값과 동치임을 보인다.

ABSTRACT

We consider the distributions of the lengths of the longest weakly increasing and strongly decreasing subsequences in words of length N from an alphabet of k letters. (In the limit as k → ∞ these become the corresponding distributions for permutations on N letters.) We find Toeplitz determinant representations for the exponential generating functions (on N) of these distribution functions and show that they are expressible in terms of solutions of Painlevé V equations. We show further that in the weakly increasing case the generating function gives the distribution of the smallest eigenvalue in the k × k Laguerre random matrix ensemble and that the distribution itself has, after centering and normalizing, an N → ∞ limit which is equal to the distribution function for the largest eigenvalue in the k × k Gaussian Unitary Ensemble. I.

연구 동기 및 목표

• 길이 N인 k개의 알파벳으로 이루어진 랜덤 워드에서 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열과 강하게 감소하는 부분수열의 분포를 분석하는 것.
• 이 분포 함수에 대한 지수 생성함수를 토플리츠 행렬식을 통해 유도하는 것.
• 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열의 분포를 k × k 라그에르 랜덤 행렬 집단의 가장 작은 고유값과 연결하는 것.
• 적절한 중심화와 정규화를 거친 후, N → ∞일 때의 극한 분포가 k × k 일반화된 유니터리 군 집단의 가장 큰 고유값 분포와 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 토플리츠 행렬식 공식을 통해 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열과 강하게 감소하는 부분수열의 분포에 대한 지수 생성함수를 유도한다.
• 통합계 시스템 이론을 사용하여 이러한 생성함수를 파이놀레 V 미분방정식의 해로 표현한다.
• 가장 긴 증가 부분수열의 분포와 라그에르 랜덤 행렬 집단의 가장 작은 고유값 간의 대응관계를 설정한다.
• 점근적 분석을 적용하여 정규화된 분포가 N → ∞의 극한에서 GUE 집단과 관련된 트레이시-위드롬 분포로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 워드의 길이 N과 알파벳 크기 k에 따라 가장 긴 증가 및 감소 부분수열의 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 이 분포에 대한 지수 생성함수는 토플리츠 행렬식으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 랜덤 워드에서 가장 긴 증가 부분수열과 랜덤 행렬 집단의 고유값 분포 사이에는 어떤 연결고리가 있는가?
• RQ4 N → ∞일 때 가장 긴 증가 부분수열의 극한 분포는 무엇이며, 기존의 트레이시-위드롬 법칙과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열의 길이에 대한 지수 생성함수는 토플리츠 행렬식으로 표현된다.
• 이 생성함수는 파이놀레 V 미분방정식의 해로 표현될 수 있음이 입증된다.
• 가장 긴 약하게 증가하는 부분수열의 분포는 k × k 라그에르 랜덤 행렬 집단의 가장 작은 고유값 분포와 대응된다.
• 중심화와 정규화를 거친 후, N → ∞일 때 가장 긴 증가 부분수열의 극한 분포는 k × k 일반화된 유니터리 군 집단의 가장 큰 고유값 분포와 일치한다.