[논문 리뷰] On the dynamic representation of some time-inconsistent risk measures in a Brownian filtration

Julio Backhoff‐Veraguas, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 26.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동 필터링에서 PDE 기법을 사용하여 시간에 비일관적인 위험 측도—특히 최적화된 확정적 등가(OCE) 측도—에 대한 동적 표현을 수립한다. 상태 공간을 확장하고 점성 해법을 활용한 확률적 제어를 적용함으로써, 시간 일관성이 없더라도 동적 계산이 가능한 동적 프로그래밍 원리와 비선형 PDE(HJB 유형)를 도출한다. 이는 조건부 VaR 및 단조 평균-분산과 같은 경우를 포함하여 시간에 비일관적인 OCE 위험 측도를 다룰 수 있게 한다.

ABSTRACT

It is well-known from the work of Kupper and Schachermayer that most law-invariant risk measures do not admit a time-consistent representation. In this work we show that in a Brownian filtration the "Optimized Certainty Equivalent" risk measures of Ben-Tal and Teboulle can be computed through PDE techniques, i.e. dynamically. This can be seen as a substitute of sorts whenever they lack time consistency, and covers the cases of conditional value-at-risk and monotone mean-variance. Our method consists of focusing on the convex dual representation, which suggests extending the state space. With this we can obtain a dynamic programming principle and use stochastic control techniques, along with the theory of viscosity solutions, which we must adapt to cover the present singular situation.

연구 동기 및 목표

• 조건부 VaR 및 단조 평균-분산과 같이 널리 사용되는 위험 측도의 시간 일관성 부족 문제를 해결하기 위해.
• 브라운 필터링에서 PDE 기법을 사용하여 시간에 비일관적인 위험 측도에 대한 동적 표현을 개발하기 위해.
• OCE 위험 측도에 대한 동적 프로그래밍 원리를 회복하기 위해 상태 공간을 확장하기 위해.
• 비선형 힘의 해를 다룰 수 있도록 점성 해법 이론을 비유계 확률적 제어 문제에 적응시키기 위해.
• 시간 일관성의 대체로, 시간에 비일관적인 위험 측도를 동적으로 계산할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 동적 프로그래밍을 위한 확장된 상태 공간을 제안하기 위해 OCE 위험 측도의 볼록 쌍대 표현에 초점을 맞춘다.
• 확장된 상태 공간에서 동적 프로그래밍 원리를 유도하여 위험 측도를 동적으로 모델링한다.
• 확률적 제어 기법을 사용하고, 비유계 제어 문제에서 발생하는 특이한 해밀토니안을 다룰 수 있도록 점성 해법 이론을 적응시킨다.
• 동적 프로그래밍 원리를 통해 동적 위험 측도와 비선형 PDE(HJB 방정식) 간의 연결을 수립한다.
• 이토의 공식과 마틴갈 representation을 사용하여 값 함수의 기울기로 제어 과정 β를 구성한다.
• 부드럽고 유계 과정으로 일반적인 경우를 축소하기 위해 모이피케이션 및 근사화 방법을 사용하여 엄밀한 PDE 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 VaR 및 단조 평균-분산과 같은 시간에 비일관적인 위험 측도가 브라운 운동 필터링에서 동적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 시간 일관성이 없음에도 불구하고 OCE 위험 측도에 대한 동적 프로그래밍 원리를 도출할 수 있는가?
• RQ3 비유계 확률적 제어 문제에서 발생하는 특이한 해밀토니안을 다룰 수 있도록 점성 해법 기법을 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 어떻게 상태 공간을 확장하여 법에 기반한 시간에 비일관적인 위험 측도에 대한 동적 표현을 회복할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 OCE 프레임워크 외의 클래스인 유틸리티 기반 기대손실에 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 시간 일관성이 실패하더라도, 브라운 운동 필터링에서 비선형 PDE(HJB 방정식)를 통한 OCE 위험 측도의 동적 표현이 수립되었다.
• 확장된 상태 공간에서 동적 프로그래밍 원리가 도출되어 조건부 VaR 및 단조 평균-분산과 같은 위험 측도의 동적 계산이 가능해졌다.
• 비유계 확률적 제어 문제에서 발생하는 특이한 해밀토니안을 다룰 수 있도록 점성 해법 기법이 성공적으로 적응되었다.
• 제어 과정 β는 값 함수의 기울기와 값 함수 자체의 비율로 명시적으로 구성되었으며, 근사화를 통해 유계성을 확보하였다.
• 이 방법은 힘의 형태의 페널티 함수를 가진 OCE 위험 측도—예를 들어 레니아 분산 기반 측도 포함—에 적용 가능하며, 금융 및 규제 분야에서 널리 사용되는 주요 위험 측도를 포함한다.
• 이 방법은 유틸리티 기반 기대손실에 대해서는 완전히 확장되지 않아 OCE 클래스를 초월한 일반화 가능성에 한계가 있음을 시사한다.