[논문 리뷰] On the dynamical and arithmetic degrees of rational self-maps of algebraic varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 전역체 위의 매끄럽고 사영적인 대상에 대한 유리형 자기사상에 대해 동역학적 차수 δ_f와 산술적 차수 α_f 사이의 기본 부등식을 수립한다. 반복된 점의 높이가 δ_f + ε의 비율로 지수적으로 최대 성장함을 보여, 모든 궤도가 잘 정의된 점 P에 대해 α_f(P) ≤ δ_f 를 도출한다. 주요 기여는 특정 스펙트럼 조건 하에서 균일한 높이 상한과 캐논리컬 높이의 존재를 보장하는 것이다.

ABSTRACT

Let f : X --> X be a dominant rational map of a projective variety defined over a global field, let d_f be the dynamical degree of f, and let h_X be a Weil height on X relative to an ample divisor. We prove that h_X(f^n(P)) << (d_f + e)^n h_X(P), where the implied constant depends only on X, h_X, f, and e. As applications, we prove a fundamental inequality a_f(P) \le d_f for the upper arithmetic degree and we construct canonical heights for (nef) divisors. We conjecture that a_f(P) = d_f whenever the orbit of P is Zariski dense, and we describe some cases for which we can prove our conjecture.

연구 동기 및 목표

• 전역체 위의 매끄럽고 사영적인 다양체에 대한 유리형 자기사상의 궤도를 따라 Weil 높이의 성장에 대한 균일한 상한을 수립하는 것.
• 기하학적 동역학적 차수 δ_f와 궤도를 따라 높이가 지수적으로 성장하는 비율로 정의된 산술적 차수 α_f 사이의 관계를 규명하는 것.
• f가 Néron-Severi 군에 대한 올려다보기 작용에 대해 특정 스펙트럼 조건을 만족할 때 캐논리컬 높이 ĥ_{f,D}의 존재성과 수렴성을 증명하는 것.
• f-궤도가 X에 조약형 밀도를 이룬다면 항상 α_f(P) = δ_f 라는 추측을 조사하는 것.
• 특히, 1차원 Néron-Severi 군을 가진 다양체 위의 사상, 일정한 단항형 및 아벨 다양체 사상 등의 중요한 기하학적·산술적 경우에서 이 추측을 검증하는 것.

제안 방법

• 편의성 있는 배수에 대한 Weil 높이 함수를 사용하여 대수다양체 위의 점들의 산술적 복잡도를 측정한다.
• f^n의 올려다보기 작용 (f^n)*이 Néron-Severi 군 NS(X)_R 위에 작용할 때의 스펙트럼 반경 추정을 적용하여 동역학적 차수 δ_f를 정의한다.
• 균일한 높이 상한 수립: 모든 궤도가 잘 정의된 점 P에 대해 h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P) 이며, C는 X, h_X, f, ε에만 의존한다.
• f^*D ≡ βD 를 만족하고 β > √δ_f 라는 조건 하에서 캐논리컬 높이 ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n 을 도입하고 수렴성을 증명한다.
• 성장률을 제어하기 위해 매우 편의성 있는 배수, 정칙 함수, 높이 비교 보조정리 등의 대수기하학 도구를 사용한다.
• 특수한 경우에 p진 방법과 약한 하위 캐논리컬 높이를 활용하여 최대 산술적 차수를 갖는 점들의 조밀도 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 궤도가 잘 정의된 점 P에 대해 산술적 차수 α_f(P)가 존재하는가?
• RQ2 상한 산술적 차수 α_f(P)는 항상 동역학적 차수 δ_f 이하로 제한되는가?
• RQ3 어떤 조건에서 캐논리컬 높이 ĥ_{f,D}가 수렴하며, 그 기능적 성질은 무엇인가?
• RQ4 α_f(P) = δ_f 가 성립하는 경우는 언제이며, 특히 조약형 밀도 궤도를 가진 점들에 대해선 어떻게 되는가?
• RQ5 조약형 밀도 궤도를 가진 점들에 대해 α_f(P) = δ_f 라는 추측을 특정 기하학적 환경에서 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0 에 대해, 어떤 상수 C 가 존재하여 모든 P ∈ X_f(̄K) 에 대해 h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P) 를 만족함으로써, 높이 성장에 대한 균일한 지수 상한을 확보한다.
• 모든 P ∈ X_f(̄K) 에 대해 상한 산술적 차수는 α_f(P) ≤ δ_f 를 만족함을 증명하여 산술적 차수와 동역학적 차수 사이의 기본 부등식을 확립한다.
• f 가 사상이고 f^*D ≡ βD 를 만족하며 β > √δ_f 라면, 캐논리컬 높이 ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n 이 수렴하고, ĥ_{f,D} ∘ f = β ĥ_{f,D} 와 ĥ_{f,D} = h_D + O(√h_X) 를 만족한다.
• 조약형 밀도 궤도를 가진 점 P에 대해 항상 α_f(P) = δ_f 라는 추측은 여러 경우에서 증명되었다: dim_NS(X)_R = 1 인 다양체 위의 사상, (P^N, G_m^N) 위의 단항형 사상, 엔도모르피즘을 가진 아벨 다양체, 그리고 특정 평면 사상.
• A^2 위의 주어진 정규화된 애핀 자동사상이나 P^2 위의 차수 2 사상에 대해선, α_f(P) = δ_f 를 만족하는 점들의 집합은 조약형 밀도를 이루며, 상호 간에 교차하지 않는 궤도를 가진다.
• 모든 경우에서, 사상이 대수적으로 안정적이거나 사상이 단항형이거나 아벨 다양체 위의 엔도모르피즘일 경우, 동역학적 차수 δ_f 는 대수적 정수이다.