[논문 리뷰] On the dynamics of codimension one holomorphic foliations with ample normal bundle

Marco Brunella|ArXiv.org|2007. 06. 11.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체의 차원이 3 이상인 컴팩트 카플러 다양체 위에서 코디멘션 1의 헬름하르트 포근레이션을 연구하며, 정규(bundle)이 충분히 양적일 경우 이러한 포근레이션은 $C^{2,\beta}$ 리프만 평탄한 초표면을 관리할 수 없으며, 이러한 초표면 주변의 어떤 이웃에서도 정규(bundle)이 양의 곡률을 가진 헬름하르트 메트릭을 가질 수 없다는 것을 증명한다. 이 결과는 이러한 조건 하에서 모든 리프가 특이점 집합으로 수렴한다는 보다 광범위한 추측을 지지한다.

ABSTRACT

We investigate the accumulation to singular points of leaves of codimension one foliations whose normal bundle is ample, with emphasis on the nonexistence of Levi-flat hypersurfaces.

연구 동기 및 목표

• 코디멘션 1의 헬름하르트 포근레이션과 충분히 양적인 정규(bundle)을 가진 경우 리프가 특이점 집합으로 수렴하는지 조사하며, 리우스 네토의 결과를 $\mathbb{C}P^n$ 에서 일반적인 컴팩트 카플러 다양체로 확장한다.
• 정규(bundle)이 충분할 경우 모든 리프가 특이점 집합으로 수렴한다는 추측을 다룬다.
• 이러한 포근레이션에 대해 $C^{2,\beta}$ 리프만 평탄한 초표면이 존재하지 않음을 배제한다.
• 포근레이션의 역학과 관련하여 정규(bundle)의 곡률 성질을 분석한다.
• 이러한 관리되는 초표면이 존재하지 못하는 기하학적 및 코homological 장벽을 탐색한다.

제안 방법

• 특히 $N_{\mathcal{F}}$ 의 충분한 양성성을 고려하여 헬름하르트 포근레이션과 그 정규(bundle) 이론을 사용하여 역학적 행동을 분석한다.
• Baum–Bott 공식을 적용하여 $N_{\mathcal{F}}$ 의 두 번째 체르니 클래스와 특이점 집합 성분에서의 잔여치를 연결한다.
• 특이점 집합 $Sing(\mathcal{F})$ 와 이격된 관리되는 컴팩트 집합 $\mathcal{M}$ 이 존재한다고 가정하고, $X \setminus \mathcal{M}$ 에서 강한 편평성의 논리를 적용한다.
• 카플러 형식 $\omega$ 의 곡률 성질을 분석하며, 특이점 집합을 수축한 후 $\omega \wedge \omega$ 가 $\partial\bar{\partial}$-정확해진다는 것을 보인다.
• $\partial\bar{\partial}$-보조정리와 사영 사상 $\pi: X \to X_0$ 을 사용하여, 이러한 초표면이 존재할 경우 코homological 모순을 이끌어낸다.
• 리프 만의 포근레이션에 대한 형식적 및 수렴적 확장 기법을 고려하여, 비관리적이지만 매끄러운 리프만 평탄한 초표면으로의 일반화 가능성을 제기한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코디멘션 1의 헬름하르트 포근레이션과 충분히 양적인 정규(bundle)을 가진 경우, 컴팩트 카플러 다양체의 차원 $n \geq 3$ 에서 $C^{2,\beta}$ 실초표면을 관리할 수 있는가?
• RQ2 정규(bundle) $N_{\mathcal{F}}$ 의 충분성은 특이점 집합 $Sing(\mathcal{F})$ 로 모든 리프가 수렴함을 의미하는가?
• RQ3 리프만 평탄한 초표면의 정규(bundle)이 리프 방향으로 양의 곡률을 가진 헬름하르트 메트릭을 가질 수 있는가?
• RQ4 리프 만의 포근레이션과 그 정규(bundle)을 $C^{\infty}$-매끄러운 리프만 평탄한 초표면을 넘어서 헬름하르트 대상으로 확장하는 것이 가능한가?
• RQ5 만약 관리되는 컴팩트 집합 $\mathcal{M}$ 의 여집합이 강한 편평성이고 $N_{\mathcal{F}}$ 가 충분히 양할 경우 어떤 코homological 장벽이 발생하는가?

주요 결과

• 코디멘션 1의 헬름하르트 포근레이션의 정규(bundle) $N_{\mathcal{F}}$ 는 컴팩트 카플러 다양체 위에서 차원 $n \geq 3$ 에서, 포근레이션에 의해 관리되는 $C^{2,\alpha}$ 실초표면 $M$ 의 어떤 이웃에서도 양의 곡률을 가진 헬름하르트 메트릭을 가질 수 없다.
• 만약 특이점 집합 $Sing(\mathcal{F})$ 와 이격된 관리되는 컴팩트 집합 $\mathcal{M}$ 이 존재한다면, $X \setminus \mathcal{M}$ 은 강한 편평성을 띠며, $N_{\mathcal{F}}$ 를 나타내는 카플러 형식 $\omega$ 는 $\omega \wedge \omega = \sum \mu_j \delta_{Z_j} + i\partial\bar{\partial}S$ 를 만족한다.
• 특이점 집합 $Z = Sing(\mathcal{F})$ 를 점들로 수축하는 $\pi: X \to X_0$ 를 통해, $\pi_*(\omega \wedge \omega)$ 는 $\partial\bar{\partial}$-정확해지며, 이는 카플러 형식에서 유래된 엄격히 양의 $(2,2)$-현재로서 매우 불가능한 것으로 간주된다.
• $\pi_*(\omega^\wedge n)$ 는 엄격히 양의 측도이므로 $\partial\bar{\partial}$-정확해질 수 없으며, 이는 이러한 $\mathcal{M}$ 이 존재할 경우 코homological 불일치를 나타낸다.
• 결과적으로, 이러한 $\mathcal{M}$ 이 $C^{2,\alpha}$ 리프만 평탄한 초표면일 수 없다는 것이 나타나며, 전역적으로 관리되지 않더라도 정규(bundle)의 리프 방향 양의 곡률 가정 하에 성립한다.
• 논문은 이러한 초표면의 존재 불가능성이 코homological 장벽과 형식적 확장 기법에 의해 지지된다고 제안하지만, 완전한 일반화는 아직 열려있다.