[논문 리뷰] On the effective cone of $\mathbb{P}^n$ blown-up at $n+3$ points

Maria Chiara Brambilla, Olivia Dumitrescu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 위치에 있는 $n+3$ 개의 점을 $\mathbb{P}^n$ 에 블로우업한 경우의 인피티브 및 이동 가능한 원소의 원소들에 대한 효과적이고 이동 가능한 원소의 원소를 계산하며, 유리 정규 곡선, 그들의 단면 다양체 및 관련 원뿔이 핵심 기저 국소성 구성요소로 식별된다. 선형 시스템에서 $n+3$ 개의 일반적인 점을 갖는 경우, 이러한 부분다양체가 기저 국소성에 포함될 때에만 선형적으로 특별한 것이며, 이러한 선형 장애를 고려한 새로운 기대 차원 공식을 제안한다.

ABSTRACT

We compute the facets of the effective and movable cones of divisors on the blow-up of $\mathbb{P}^n$ at $n+3$ points in general position. Given any linear system of hypersurfaces of $\mathbb{P}^n$ based at $n+3$ multiple points in general position, we prove that the secant varieties to the rational normal curve of degree $n$ passing through the points, as well as their joins with linear subspaces spanned by some of the points, are cycles of the base locus and we compute their multiplicity. We conjecture that a linear system with $n+3$ points is linearly special only if it contains such subvarieties in the base locus and we give a new formula for the expected dimension.

연구 동기 및 목표

• 일반 위치에 있는 $n+3$ 개의 점을 $\mathbb{P}^n$ 에 블로우업한 경우의 인피티브 및 이동 가능한 원소의 원소의 구조를 규명하는 것.
• 기저 점이 $n+3$ 개의 일반적인 점인 선형 시스템의 기저 국소성을 특성화하며, 비선형 부분다양체인 유리 정규 곡선과 그들의 단면 다양체를 핵심 구성요소로 식별하는 것.
• 선형 장애를 고려한 새로운 기대 차원 공식인 선형 기대 차원 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ 를 제안하여 특별한 선형 시스템에서의 영향을 반영하는 것.
• 선형 시스템이 선형적으로 특별한 경우는 오직 그 기저 국로스에 유리 정규 곡선 또는 그들의 단면 다양체가 포함될 때에만 성립한다는 추측을 조사하는 것.
• 낮은 차원($n \leq 3$) 및 특정 동차 선형 시스템의 가닥에 대해 추측을 검증하는 것.

제안 방법

• 기저 국로스 보조정리(Lemma 4.1)를 사용하여 일반적인 점 $n+3$ 개를 지난 차수 $n$ 의 유리 정규 곡선이 선형 시스템의 기저 국로스의 구성요소임을 식별한다.
• 크레모나 변환 이론을 적용하여 선형 시스템을 단순화하고 차원을 분석하며, 특히 크레모나 변환 $\operatorname{Cr}({\mathcal{L}})$ 를 사용한다.
• 선형 사이클(예: 단면 다양체)이 기대 차원에 기여하는 바를 반영한 선형 기대 차원 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ 의 개념을 도입한다.
• 열거 기법과 반복 블로우업에서의 엄격한 전이의 코homological 분류를 사용하여 선형 시스템을 분석한다.
• 귀납법과 원뿔 구성 기법을 사용하여 $\mathcal{L}(t,a)$ 와 $\mathcal{L}(b)$ 와 같은 선형 시스템의 가닥에 대해 결과를 증명하며, 크레모나 동치를 통해 알려진 시스템과 연결한다.
• 리만-로흐 공식과 가상 차원 공식을 적용하여 차원을 계산하고, 새로운 기대 차원과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 점 $n+3$ 개를 $\mathbb{P}^n$ 에 블로우업한 경우의 인피티브 및 이동 가능한 원소의 원소의 면은 무엇인가?
• RQ2 선형 사이클 이외의 어떤 부분다양체가 선형 시스템을 특별하게 만들며, 기저 국로스에 어떻게 나타나는가?
• RQ3 선형 시스템이 선형적으로 특별한 경우는 오직 그 기저 국로스에 유리 정규 곡선 또는 그들의 단면 다양체가 포함될 때에만 성립한다는 추측은 참인가?
• RQ4 새로운 선형 기대 차원 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ 는 $n+3$ 개의 기저 점을 갖는 선형 시스템의 차원을 정확히 예측하는가?
• RQ5 어떤 선형 시스템의 가닥에 대해 선형 특별성의 추측이 성립하며, 크레모나 단순화와 귀납법을 통해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 점 $n+3$ 개를 $\mathbb{P}^n$ 에 블로우업한 경우의 인피티브 및 이동 가능한 원소의 원소는 완전히 기술되었으며, 이들의 면은 유리 정규 곡선과 그들의 단면 다양체의 계열에 대응한다.
• 기저 점이 $n+3$ 개의 일반적인 점이고 각 점의 다중도가 $m_i$ 인 모든 선형 시스템의 기저 국로스에는 그 점들을 지난 차수 $n$ 의 유리 정규 곡선과 그의 단면 다양체가 포함되며, 다중도는 $m_i$ 에 따라 달라진다.
• $n \leq 3$ 인 경우, 선형 시스템이 선형적으로 특별한 경우는 오직 그 기저 국로스에 이러한 부분다양체가 포함될 때에만 성립한다는 추측은 리만-로흐와 크레모나 단순화를 통해 검증되었다.
• $\mathcal{L}(t,a) = \mathcal{L}_{2t,a(t+1)}((at)^{2t+3})$ 는 정확히 한 개의 점을 가지며, $a\sigma_t$ 이며, 귀납법과 크레모나 단순화를 통해 추측을 증명하였다.
• $\mathcal{L}(b) = \mathcal{L}_{n,b(n+2)}((bn)^{n+3})$ 는 $n$ 이 짝수일 때 차원이 1이고, 홀수일 때는 공집합이며, 추측을 만족한다.
• $\mathcal{L}_{n,d}(n^{n+3})$ 는 모든 $n \geq 2$ 와 $d \geq 1$ 에 대해 추측을 만족하며, 차원은 선형 기대 차원 $\operatorname{ldim}({\mathcal{L}})$ 와 일치한다.