[논문 리뷰] On the energy-momentum current of the electromagnetic field in a pre-metric axiomatic approach. I

Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov|ArXiv.org|2001. 03. 07.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 미분형식과 프레임 장을 사용하여 계량미존재성의 전기역학 에너지-운동량 유량 ${}^{\rm k}\bar{\Sigma}_{\alpha}$ 를 도입한다. 레이저력 밀도로부터 유도하고 네 번째 공리로 제안함으로써, ${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha}$ 가 비자명성이고 전자기 이중성에 대해 불변임을 보여준다. 맥스웰-로렌츠 시공간 관계 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ 가 적용되면, 이 유량은 대칭적이 되어 표준 대칭 에너지-운동량 텐서로 이어지며, 9개의 독립된 성분을 가진다.

ABSTRACT

We complete a metric-free axiomatic framework for electrodynamics by introducing the appropriate energy-momentum current Sigma of the electromagnetic field. We start from the Lorentz force density and motivate the form of Sigma. Then we postulate it (fourth axiom) and discuss its properties. In particular, it is found that Sigma is traceless and invariant under an electric-magnetic reciprocity transformation. By using the Maxwell-Lorentz spacetime relation (fifth axiom), Sigma is also shown to be symmetric, that is, it has 9 independent components

연구 동기 및 목표

• 전기역학의 전계량 공리적 프레임워크를 완성하기 위해 전자기장에 대해 일관된 에너지-운동량 유량을 도입하는 것.
• 계량이나 접속을 가정하지 않고 레이저력 밀도로부터 에너지-운동량 유량을 유도하는 것.
• 유도된 유량이 비자명성이고 전자기 이중성 변환에 대해 불변임을 확립하는 것.
• 맥스웰-로렌츠 시공간 관계를 적용할 경우, 이 유량이 대칭적이 되어 표준 에너지-운동량 텐서를 회복하는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 레이저력 밀도를 국소적 적분과 리 도함수 항등식을 통해 정확한 형식으로 표현함으로써 에너지-운동량 유량 ${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha}$ 를 유도한다.
• 유량을 네 번째 공리로 도입: ${}^{\rm k}\Sigma_{\alpha} = \frac{1}{2}\left[F \wedge (e_{\alpha} \rfloor H) - H \wedge (e_{\alpha} \rfloor F)\right]$, 레이저력과 보존 법칙과의 일관성에 기반한다.
• 비동차적 및 동차적 맥스웰 방정식 ($dJ=0$, $dF=0$) 을 사용하여 비보존 항을 제거하고 보존 유량을 고립한다.
• 맥스웰-로렌츠 시공간 관계 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ 를 적용하여 계량을 도입하고 유량의 대칭성을 증명한다.
• 헤지 스타 이중성과 프레임 장 성질을 포함한 미분형식 항등식을 사용하여 $\vartheta_{[\beta} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha]} = 0$ 를 보이며, 이는 대칭성을 의미한다.
• 에너지-운동량 유량을 텐서 $^\rm kT_{\alpha\beta} = {}^\star(\vartheta_\beta \wedge {}^\rm k\Sigma_\alpha)$ 로 표현하여 비자명성과 대칭성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전기역학의 계량미존재성, 전계량 공리적 프레임워크에서 전자기 에너지-운동량 유량을 어떻게 일관되게 유도할 수 있는가?
• RQ2 에너지-운동량 유량이 레이저력과 보존 법칙과의 일관성을 확보하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 유도된 유량이 전자기 이중성 변환에 대해 불변인가?
• RQ4 계량을 가정하지 않고도 이 유량이 대칭임을 증명할 수 있는가, 아니면 대칭성은 맥스웰-로렌츠 시공간 관계가 필요한가?
• RQ5 시공간 관계가 적용될 경우, 이 유량이 진공 전기역학에서 표준 대칭 에너지-운동량 텐서로 축소되는가?

주요 결과

• 에너지-운동량 유량 ${}^\rm k\Sigma_{\alpha} = \frac{1}{2}\left[F \wedge (e_{\alpha} \rfloor H) - H \wedge (e_{\alpha} \rfloor F)\right]$ 는 전계량 프레임워크에서 네 번째 공리로 도입되어 레이저력 밀도와의 일관성을 보장한다.
• 이 유량은 비자명성이며, $\vartheta^{\alpha} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha} = 0$ 를 만족한다. 이는 에너지-운동량 보존의 기본 조건이다.
• 이 유량은 전자기 이중성 치환 변환에 대해 불변이며, 전자기장의 깊은 대칭성을 나타낸다.
• 맥스웰-로렌츠 시공간 관계 $H = \sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}\,{}^\star F$ 가 적용되면, 이 유량은 대칭적이 되며, 즉 $\vartheta_{[\beta} \wedge {}^\rm k\Sigma_{\alpha]} = 0$ 가 되어 9개의 독립된 성분을 가짐을 확인한다.
• 에너지-운동량 텐서 $^\rm kT_{\alpha\beta} = {}^\star(\vartheta_\beta \wedge {}^\rm k\Sigma_\alpha)$ 는 비자명성과 대칭성을 가지며, 진공 전기역학에서의 표준 형태와 일치한다.
• 이 유량의 대칭성은 계량이 없이 정의될 수 없으며, 헤지 스타 연산과 시공간 관계에 의존하므로, '불완전한 대칭'이라고 불린다.