[논문 리뷰] On the entanglement-assisted classical capacity of infinite-dimensional quantum channels

A. S. Holevo, M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 선형 에너지 제약 조건이 있는 무한차원 양자 채널에 대해 Bennett-Shor-Smolin-Thaplyal (BSST) 정리를 일반화하여, 얽힘을 보조로 사용할 때의 고전적 전송 용량이 최대 양자 상호정보량과 같음을 증명한다. 비보조 용량과의 일치 조건을 도출하고, 특정 제약 조건 하에서의 연속성을 증명하며, 연속 변수 시스템에서의 코herent 정보와 프라이버시 간의 Schumacher-Westmoreland 쌍대성도 일반화한다.

ABSTRACT

The coding theorem for the entanglement-assisted communication via infinite-dimensional quantum channel with linear constraint is extended to a natural degree of generality. Relations between the entanglement-assisted classical capacity and the $χ$-capacity of constrained channels are obtained and conditions for their coincidence are given. Sufficient conditions for continuity of the entanglement-assisted classical capacity as a function of a channel are obtained. Some applications of the obtained results to analysis of Gaussian channels are considered. A general (continuous) version of the fundamental relation between the coherent information and the measure of privacy of classical information transmission by infinite-dimensional quantum channel is proved.

연구 동기 및 목표

• 선형 에너지 제약 조건 하에서 무한차원 양자 채널로 얽힘을 보조로 사용한 고전적 전송 용량 정리의 확장을 시도한다.
• 얽힘을 보조로 사용한 용량과 보조 없이 사용한 고전적 전송 용량이 일치하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 설정한다.
• 물리적 정밀도의 오차가 존재할 경우에도 채널에 대한 함수로서 얽힘을 보조로 사용한 용량의 연속성을 조사한다.
• 무한차원 채널에서의 코herent 정보와 프라이버시 간의 기본적인 쌍대성 관계를 일반화한다.
• 결과를 가우시안 채널에 적용하여, 고전-양자 및 이산형 타입의 부분채널을 분석한다.

제안 방법

• 채널과 그 보완 맵을 등급과 추적 연산을 통해 표현하기 위해 Stinespring 확장 정리를 활용한다.
• 제약 조건이 있는 채널의 $χ$-용량 개념을 도입하여, 입력 집합에 대한 양자 상호정보량의 하한값을 정의한다.
• 측도의 약한 수렴과 $χ$-용량 함수의 하부 연속성을 적용하여 엔트로피 양의 수렴을 증명한다.
• 채널의 쌍대 맵을 웨일 연산자에 대해 적용하여, 매개변수 $K$, $l$, $α$를 통해 가우시안 채널을 특성화한다.
• 연속 시스템에서의 일반화된 양자 조건부 엔트로피 개념과 코herent 정보 및 프라이버시 간의 쌍대성 관계를 활용한다.
• 웨일 연산자의 스펙트럼 분석과 기약성 논증을 통해 가우시안 채널이 고전-양자 또는 이산형 타입의 부분채널을 갖는 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 있는 무한차원 채널에서 얽힘을 보조로 사용한 고전적 전송 용량이 $χ$-용량과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 얽힘을 보조로 사용한 용량이 보조 없이 사용한 고전적 전송 용량과 일치하는 조건은 무엇이며, 그 경우 채널가 갖는 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ3 무한차원에서 채널에 대한 함수로서 얽힘을 보조로 사용한 용량의 연속성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 무한차원 양자 채널에서 코herent 정보와 프라이버시 간의 쌍대성은 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 가우시안 채널에서 고전-양자 및 이산형 타입의 부분채널은 무엇으로 특징지어지는가?

주요 결과

• 제약 조건이 있는 무한차원 채널에서 얽힘을 보조로 사용한 고전적 전송 용량은 최대 양자 상호정보량과 동일하며, 제약 조건 없이 BSST 정리를 일반화한 결과이다.
• 얽힘을 보조로 사용한 용량과 보조 없이 사용한 고전적 전송 용량이 일치하는 것은 채널이 본질적으로 고전-양자이면서, 이산형 타입일 수 있는 경우는 완전히 분극화된 채널일 때에 한한다.
• 얽힘을 보조로 사용한 용량의 연속성에 대한 충분 조건이 도출되었으며, 이는 보완 채널의 수렴성과 입력 에너지 제약 조건의 유계성 포함된다.
• Schumacher-Westmoreland 항등식의 무한차원 일반화가 증명되었으며, 이는 코herent 정보와 고전적 정보 전송의 프라이버시 측도를 연결한다.
• 가우시안 채널의 경우, $K^T\Delta_A K = 0$이면 채널이 고전-양자이며, $\text{rank}(K) = \dim Z_A$이면 이산형 타입의 부분채널이 존재하지 않는다.
• 채널이 유한차원 부분채널을 갖지 않도록 하는 조건은 웨일 연산자 집합 $\{W_A(Kz_B)\}$의 기약성에 기반하며, 이는 $K$가 최대 질량을 가질 경우에 해당한다.