[논문 리뷰] On the Enumeration of Minimal Dominating Sets and Related Notions

Mamadou Moustapha Kanté, Vincent Limouzy외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 32인용 수 85

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 최소 지배 집합의 열거 문제(Dom-Enum)와 초그래프에서 최소 횡단집합의 열거 문제(Trans-Enum) 사이의 동치성을 확립하며, 이 둘이 상호 간에 다항식 시간으로 환원 가능하다는 것을 증명한다. P6-free 순환 그래프에서 그래프 완성 기법을 사용하여 Dom-Enum에 대한 출력 다항식 시간 알고리즘을 제시하며, 최소 연결 지배 집합이 최소 분리 집합의 최소 횡단집합과 대응됨을 보여주어, 최소 분리 집합의 수가 다항식으로 유 bounds된 클래스에서는 출력 다항식 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A dominating set $D$ in a graph is a subset of its vertex set such that each vertex is either in $D$ or has a neighbour in $D$. In this paper, we are interested in the enumeration of (inclusion-wise) minimal dominating sets in graphs, called the Dom-Enum problem. It is well known that this problem can be polynomially reduced to the Trans-Enum problem in hypergraphs, i.e., the problem of enumerating all minimal transversals in a hypergraph. Firstly we show that the Trans-Enum problem can be polynomially reduced to the Dom-Enum problem. As a consequence there exists an output-polynomial time algorithm for the Trans-Enum problem if and only if there exists one for the Dom-Enum problem. Secondly, we study the Dom-Enum problem in some graph classes. We give an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in split graphs, and introduce the completion of a graph to obtain an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in $P_6$-free chordal graphs, a proper superclass of split graphs. Finally, we investigate the complexity of the enumeration of (inclusion-wise) minimal connected dominating sets and minimal total dominating sets of graphs. We show that there exists an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem (or equivalently Trans-Enum problem) if and only if there exists one for the following enumeration problems: minimal total dominating sets, minimal total dominating sets in split graphs, minimal connected dominating sets in split graphs, minimal dominating sets in co-bipartite graphs.

연구 동기 및 목표

• Dom-Enum 문제와 Trans-Enum 문제 사이의 계산적 동치성을 확립한다.
• 스플릿 그래프에서 Dom-Enum에 대한 출력 다항식 시간 알고리즘을 개발하고, 이를 그래프 완성 기법을 통해 P6-free 순환 그래프로 확장한다.
• 그래프에서 최소 연결 지배 집합과 최소 분리 집합 간의 관계를 특성화한다.
• 최소 연결 지배 집합 열거에 대해 출력 다항식 시간 알고리즘이 존재하는 그래프 클래스를 특정한다.
• 다양한 지배 집합 열거 문제 간의 복잡도 계층을 명확히 한다.

제안 방법

• 논문은 Trans-Enum에서 Dom-Enum으로의 다항식 환원을 증명하여, 두 문제 간의 동치성을 확립한다.
• P6-free 순환 그래프를 최소 지배 집합을 유지하면서 스플릿 그래프로 변환하는 그래프 완성 개념을 사용한다.
• 스플릿 그래프에서 Dom-Enum에 대해 알려진 출력 다항식 알고리즘을 완성된 그래프에 적용하여 선형 지연과 다항식 공간을 보장한다.
• 그래프에서 최소 연결 지배 집합은 그 최소 분리 집합 초그래프의 최소 횡단집합과 정확히 일치함을 보여준다.
• 최소 분리 집합의 수가 다항식으로 유 bounds된 그래프 클래스에서 CDom-Enum 문제를 Trans-Enum으로 환원한다.
• 구조적 그래프 이론과 초그래프 이중성의 개념을 활용하여 지배 집합 문제를 횡단집합 열거 문제와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초그래프에서의 Dom-Enum 문제와 Trans-Enum 문제 사이에 다항식 동치성이 존재하는가?
• RQ2 스플릿 그래프에서의 출력 다항식 시간 알고리즘은 더 넓은 그래프 클래스로 확장 가능한가?
• RQ3 그래프에서 최소 연결 지배 집합과 최소 분리 집합 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 어떤 그래프 클래스에서 최소 연결 지배 집합을 열거하는 데 출력 다항식 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 CDom-Enum 문제는 Dom-Enum 문제보다 엄격히 더 어려운가?

주요 결과

• Dom-Enum 문제와 Trans-Enum 문제 사이에 다항식 동치성이 존재한다: 한 문제에 출력 다항식 시간 알고리즘이 존재하는 것은 다른 문제에도 존재하는 것과 정확히 동치이다.
• 스플릿 그래프에서 Dom-Enum에 대한 출력 다항식 시간 알고리즘이 존재하며, 선형 지연과 다항식 공간을 사용한다.
• P6-free 순환 그래프에서 Dom-Enum에 대한 출력 다항식 시간 알고리즘은 스플릿 그래프로의 완성 기법을 통해 달성되며, 지연 O(n + m), 공간 복잡도 O(n²)를 가진다.
• 그래프에서 최소 연결 지배 집합은 그 최소 분리 집합 초그래프의 최소 횡단집합과 정확히 일치한다.
• 최소 분리 집합의 수가 다항식으로 유 bounds된 모든 그래프 클래스에서 CDom-Enum 문제는 Trans-Enum으로 환원 가능하며, 이로 인해 출력 다항식 알고리즘이 가능해진다.
• CDom-Enum 문제는 일반적으로 Dom-Enum으로 환원될 수 없기 때문에 Dom-Enum보다 엄격히 더 어렵지만, 스플릿 그래프와 같은 특정 클래스에서는 Trans-Enum과 동치이다.