[논문 리뷰] On the equivalence of proportional-integral and proportional-resonant controllers with anti-windup

Christoph M. Hackl|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 23.

Numerical methods for differential equations인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 비례-적분(PID) 및 비례-공진(PR) 컨트롤러 간의 상태공간 등가성을, 동기 회전하는(d, q) 및 정지하는(α, β) 기준 프레임 모두에서, 제어기 파라미터와 초기 조건이 동일할 경우에 성립함을 증명한다. 시간에 따라 변하는 전기 각속도가 존재하더라도 등가성은 유지되며, 이는 올바르게 구현된 경우 두 컨트롤러가 동일한 폐쇄 루프 동역학과 정 steady-state 정확도를 제공함을 입증한다.

ABSTRACT

It is shown that proportional-integral (PI) control in the synchronously rotating (d, q)-reference frame and proportional-resonant (PR) control in the stationary (α, \b{eta})-reference frame, both with anti-windup, are equivalent if and only if their implementation is done correctly in state space and the controller parameters and the initial values are identical. It is shown that an equivalence in the frequency domain does only hold if simplifying assumptions are satisfied. As consequence of the equivalence, both closed- loop control performances are identical with respect to closed-loop dynamics and steady-state accuracy. The control performance will only differ if their implementation is not done correctly or the time delay induced by the voltage source inverter becomes significant. To the best knowledge of the author, equivalence of PR and PI controllers with anti-windup has not been shown before (in particular not in state space).

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 전기 각속도 하에서 PI 및 PR 컨트롤러의 등가성에 대한 모호함을 해소하기 위해, 특히 기계 및 그리드 측 제어 응용 분야에서 고려한다.
• 일정한 각속도를 전제로 하는 주파수 도메인 가정에 의존하지 않고, 상태공간에서의 등가성을 체계적으로 입증한다.
• 동일한 파라미터와 초기 조건으로 구현된 경우, 두 컨트롤러가 동일한 폐쇄 루프 성능을 낼 수 있음을 보여준다.
• 성능 차이가 컨트롤러 유형 자체의 문제에서 비롯되지 않고, 잘못된 구현 또는 상당한 인버터 시간 지연에서 기인함을 명확히 한다.
• 주파수 변화가 흔한 애플리케이션, 예를 들어 PMSM 드라이브 및 약한 그리드에 연결된 인버터에서의 컨트롤러 선택에 대한 엄밀한 기초를 제공한다.

제안 방법

• 파크 변환과 시간 도함수 규칙을 사용하여 (d, q)-기준 프레임에서 피드백 보정이 있는 PI 컨트롤러의 상태공간 수식을 유도한다.
• 시간에 따라 변하는 각속도를 고려하여 (α, β)-기준 프레임에서 피드백 보정이 있는 PR 컨트롤러의 상태공간 수식을 유도한다.
• 역 파크 변환을 적용하여 (α, β) 및 (d, q) 기준 프레임 간의 역학을 연결하고, 프레임 간 비교를 가능하게 한다.
• 회전 행렬 Tp(φk), 반대칭 행렬 J 및 그들의 교환 법칙을 포함한 행렬 항등식을 사용하여 시간 도함수 표현식을 단순화한다.
• 동일한 파라미터 및 초기 조건 하에서 두 컨트롤러의 최종 미분 방정식을 비교한다.
• 제어기 파라미터와 초기 상태가 일치할 경우, 폐쇄 루프 동역학 및 제어 입력 방정식이 수학적으로 동일함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PI 컨트롤러가 (d, q)-기준 프레임에 존재할 때, 어떤 조건에서 (α, β)-기준 프레임의 PR 컨트롤러와 피드백 보정이 있는 경우 등가가 성립하는가?
• RQ2 전기 각속도가 일정하지 않고 시간에 따라 변할 경우에도 등가성이 유지되는가?
• RQ3 초기 조건과 제어기 파라미터 일치가 등가성 달성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 각속도가 변할 경우 주파수 도메인 분석이 완전한 등가성을 포착하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 단순화된 가정 없이 상태공간에서 등가성을 엄밀하게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• PI 및 PR 컨트롤러에 피드백 보정 기능이 있는 경우, 그 제어기 파라미터와 초기 값이 동일할 때에만 (d, q) 및 (α, β) 기준 프레임 모두에서 등가가 성립한다.
• 등가성은 상태공간에서 증명되었으며, 이는 시간에 따라 변하는 전기 각속도에 대해서도 유효하다. 이는 고전적인 주파수 도메인 등가성 증명이 무효화됨을 의미한다.
• 적절하게 구현되고 파라미터 및 초기 조건이 일치할 경우, 두 컨트롤러의 폐쇄 루프 동역학과 정상 상태 정확도는 동일하다.
• 성능 차이는 컨트롤러 유형 자체의 문제에서 비롯되지 않고, 잘못된 구현 또는 상당한 변환기 시간 지연에서 기인한다.
• 파라미터 및 초기 값이 일치할 경우, (α, β)-기준 프레임에서의 PR 컨트롤러 상태 방정식과 (d, q)-기준 프레임에서의 PI 컨트롤러 상태 방정식은 수학적으로 동일하다.
• 이 논문은 PI 및 PR 컨트롤러에 피드백 보정 기능이 있는 경우에 대해, 이전 문헌에서의 모호함을 해소한 최초의 엄밀한 상태공간 증명을 제공한다.