[논문 리뷰] On the equivalence of the Bott index and the Chern number on a torus, and the quantization of the Hall conductivity with a real space Kubo formula

Daniele Toniolo|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 19.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2차원 토러스 위의 갭이 있는, 국소적인 상호작용을 갖는 유한한 해밀토니안에 대해 열역학적 극한에서 Bott 지수와 Chern 수의 동치성을 확립한다. 실공간 Kubo 공식을 정확한 연산자 항등식으로 사용하여, 보정 항이 $L^{-1}$ 스케일로 증가하는 전단 전도도의 양자화를 증명함으로써, Hastings와 Loring가 도입한 Bott 지수가 양자물리학에서의 물리적 기초를 강화한다.

ABSTRACT

The equivalence of the Bott index and the Chern number is established in the thermodynamic limit for a gapped, short ranged and bounded Hamiltonian on a two dimensional torus of linear size $ L $. A Kubo formula as an exact operatorial identity is provided in real space and used to show the quantization of the transverse conductance within corrections of order $L^{-1}$. In doing so the physical foundations of the theory that introduces the Bott index in the realm of condensed matter as proposed by Hastings and Loring in J. Math. Phys. (51), 015214, (2010) and Annals of Physics 326 (2011) 1699-1759 are recalled.

연구 동기 및 목표

• 2차원 토러스 위의 갭이 있고 국소적인 상호작용을 갖는 해밀토니안에 대해 열역학적 극한에서 Bott 지수와 Chern 수의 동치성을 확립한다.
• 유한한 시스템에서 전단 전도도에 대한 정확한 연산자 항등식으로서 실공간 Kubo 공식을 제공한다.
• L^{-1}$ 정도의 보정 항을 포함한 홀 전도도의 양자화를 보여주어, Bott 지수가 위상 절연체 이론에서 물리적으로 의미 있는지 확인한다.
• Hastings와 Loring가 처음 제안한 바와 같이, Bott 지수가 밀도역학 이론에서 물리적 기초를 재확인하고 재정립한다.

제안 방법

• 유한한 시스템에서 전단 전도도에 대한 실공간 Kubo 공식을 정확한 연산자 항등식으로 유도한다.
• 2차원 토러스 위에서 주기적 경계 조건을 갖는 시스템의 열역학적 극한($L \to \infty$)을 분석한다.
• 갭이 있고 국소적인 상호작용을 갖는 해밀토니안의 성질을 이용하여 위상적 안정성을 확보한다.
• Bott 지수가 열역학적 극한에서 Chern 수로 수렴함을 보여준다.
• 실공간 Kubo 공식을 적용하여, 홀 전도도가 $L^{-1}$ 정도의 보정 항을 포함한 채로 양자화됨을 보여준다.
• Bott 지수가 측정 가능한 전도도 성질과 연결되기 위해 엄밀한 many-body 양자역학적 형식을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 토러스 위의 갭이 있고 국소적인 상호작용을 갖는 해밀토니안에 대해 열역학적 극한에서 Bott 지수는 Chern 수와 동치인가?
• RQ2 이러한 시스템에서 전단 전도도에 대한 실공간 Kubo 공식을 정확한 연산자 항등식으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한한 크기 보정 항을 고려할 때 홀 전도도는 여전히 양자화되는가? 그리고 그 보정 항의 스케일은 무엇인가?
• RQ4 Bott 지수가 밀도역학계에서 물리적으로 의미 있는 위상적 불변량으로 어떻게 도출되는가?
• RQ5 위상 절연체의 수치적 및 분석적 연구에서 Chern 수 대신 Bott 지수를 사용하는 데 있어 물리적 정당성은 무엇인가?

주요 결과

• 2차원 토러스 위의 갭이 있고 국소적인 상호작용을 갖는 해밀토니안에 대해 열역학적 극한에서 Bott 지수가 Chern 수로 수렴한다.
• 실공간 Kubo 공식이 정확한 연산자 항등식으로 유도되었으며, 이는 운동량 공간 기법에 의존하지 않고 전단 전도도를 계산할 수 있도록 한다.
• 홀 전도도가 $L^{-1}$ 스케일의 보정 항을 포함한 채로 양자화됨을 보여주었으며, 이는 유한한 크기 효과와 일치한다.
• Bott 지수가 Chern 수와의 동치성과 양자화된 전도도에서의 역할을 통해 밀도역학에서의 물리적 기초가 재확인된다.
• 유한한 경계 조건이나 복잡한 불순물이 존재하는 시스템에서, Bott 지수가 수치적으로 안정적이고 물리적으로 의미 있는 Chern 수의 대체 수단임을 뒷받침한다.