[논문 리뷰] On the estimation of integrated covariance matrices of high dimensional diffusion processes

Xinghua Zheng, Yingying Li|SSRN Electronic Journal|2010. 05. 11.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고빈도 데이터로부터 고차원 통합공분산행렬(ICV)를 추정하기 위해 시간변동 보정 실현공분산(TVARCV) 행렬을 제안한다. 표준 실현공분산(RCV)과 달리, 시간에 따라 변하는 변동성으로 인해 스펙트럼 분포가 왜곡되는 것을 방지하기 위해 공분산 경로의 변동성을 보정함으로써, TVARCV는 그 한계 스펙트럼 분포가 ICV에만 의존하고 마르첸코–파스트르 방정식을 통해 결정됨을 보장한다. 이는 ICV 스펙트럼에 대한 정확한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the estimation of integrated covariance (ICV) matrices of high dimensional diffusion processes based on high frequency observations. We start by studying the most commonly used estimator, the realized covariance (RCV) matrix. We show that in the high dimensional case when the dimension $p$ and the observation frequency $n$ grow in the same rate, the limiting spectral distribution (LSD) of RCV depends on the covolatility process not only through the targeting ICV, but also on how the covolatility process varies in time. We establish a Marčenko--Pastur type theorem for weighted sample covariance matrices, based on which we obtain a Marčenko--Pastur type theorem for RCV for a class $\mathcal{C}$ of diffusion processes. The results explicitly demonstrate how the time variability of the covolatility process affects the LSD of RCV. We further propose an alternative estimator, the time-variation adjusted realized covariance (TVARCV) matrix. We show that for processes in class $\mathcal {C}$, the TVARCV possesses the desirable property that its LSD depends solely on that of the targeting ICV through the Marčenko--Pastur equation, and hence, in particular, the TVARCV can be used to recover the empirical spectral distribution of the ICV by using existing algorithms.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 변동성 하에서 고차원 통합공분산(ICV) 행렬을 추정할 때 실현공분산(RCV) 행렬의 편향을 해결하기 위해.
• RCV의 한계 스펙트럼 분포(LSD)가 ICV와 공분산 경로의 시간적 동적 특성에 모두 의존하는 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 시간변동성 영향을 제거함으로써 ICV의 스펙트럼 영향을 고립시키는 새로운 추정기 TVARCV를 개발하기 위해.
• 가중치가 부여된 표본공분산행렬에 대해 마르첸코–파스트르 유사 정리를 증명하고, 이를 확산과정의 일정한 클래스에 대해 RCV에까지 확장하기 위해.
• TVARCV를 통해 ICV의 경험적 스펙트럼 분포(ESD)를 정확하게 추정할 수 있도록 하여 포트폴리오 최적화와 같은 후속 응용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 고차원 점근적 조건(p/n → c ∈ (0, ∞)) 하에서 가중치가 부여된 표본공분산행렬에 대해 마르첸코–파스트르 유사 방정식을 유도한다.
• 이 프레임워크를 시간에 따라 변하는 공분산 경로를 갖는 확산과정의 일정한 클래스 𝒞에 대해 실현공분산행렬(RCV)에 적용한다.
• RCV를 시간에 따라 변하는 변동성 경로의 영향을 제거하도록 보정함으로써 TVARCV 추정기를 제안한다.
• 확률적 미적분학과 극한정리들을 활용하여 TVARCV의 LSD가 표준 마르첸코–파스트르 방정식을 통해 ICV에만 의존함을 보인다.
• 스티엘제스 변환 기법을 사용하여 고빈도, 고차원 점근적 조건 하에서 RCV와 TVARCV의 LSD를 특성화한다.
• 조각별로 일정한 및 연속적인 변동성 경로를 갖는 시뮬레이션을 통해 이론을 검증하며, RCV와 TVARCV의 ESD를 마르첸코–파스트르 법칙과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 공분산 경로의 변동성이 고차원 설정에서 실현공분산(RCV) 행렬의 한계 스펙트럼 분포(LSD)에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 그 LSD가 공분산 경로의 동적 특성과 무관하게 ICV에만 의존하고 마르첸코–파스트르 방정식을 통해 결정되는 수정된 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ3 RCV 행렬의 LSD가 시간에 따라 변하는 변동성에 의해 왜곡되는 데 필요한 이론적 조건은 무엇이며, 이러한 왜곡은 어떻게 보정할 수 있는가?
• RQ4 제안된 TVARCV 추정기는 ICV는 고정되어 있으나 변동성 경로가 변할 경우 경험적 스펙트럼 분포(ESD)가 유일한 극한으로 수렴하는가?
• RQ5 기존의 스펙트럼 추정 알고리즘은 TVARCV에 얼마나 적용 가능하며, 진정한 ICV 행렬의 ESD를 회복하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 표준 RCV 행렬의 LSD는 ICV 외에도 시간에 따라 변하는 공분산 경로의 동적 특성에 의존한다. 이는 ICV가 고정되어 있을지라도 그렇다.
• 동일한 ICV 행렬에 대해서도, 서로 다른 변동성 경로에서 추정된 RCV 행렬은 극명하게 다른 경험적 스펙트럼 분포(ESD)를 보이며, 시간변동성으로 인한 심각한 편향이 있음을 보여준다.
• 제안된 TVARCV 추정기는 시간에 따라 변하는 변동성의 영향을 LSD에서 완전히 제거하여, 그 한계 스펙트럼 분포가 ICV에만 의존하고 마르첸코–파스트르 방정식을 통해 결정됨을 보장한다.
• 시뮬레이션 결과, ICV가 고정되어 있을 경우 어떤 변동성 경로이든 TVARCV의 ESD가 마르첸코–파스트르 법칙에 매우 잘 따르는 것으로 확인되었고, 반면 RCV의 ESD는 경로에 따라 크게 달라졌다.
• TVARCV 추정기는 기존 알고리즘을 활용하여 ICV의 ESD를 일관되게 추정할 수 있도록 하여 포트폴리오 리스크 관리 및 주성분 분석과 같은 응용에 적합하다.
• 가중치가 부여된 표본공분산행렬에 대해 새로운 마르첸코–파스트르 유사 정리를 수립하였고, 이를 바탕으로 확산과정의 일정한 클래스에 대해 RCV와 TVARCV의 LSD를 도출하였다.