[논문 리뷰] On the Exact Amount of Missing Information that makes Finding Possible Winners Hard

Palash Dey, Neeldhara Misra|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 26.

Game Theory and Voting Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 투표 규칙의 광범위한 클래스(예: 점수 규칙(예: 보다, 다수의 투표), 코플랜드α, 맥스민, 뱅클린))에서 부분 투표에서 누락된 쌍별 비교의 정확한 임계값을 규명하여 가능한 승자 문제의 NP-완전성을 입증한다. 많은 이 규칙들에 대해, 한 투표당 하나의 미결정 쌍이 존재하는 경우에도 문제의 NP-완전성은 유지되지만, 이러한 쌍이 전혀 존재하지 않을 경우 문제는 다항시간 내에 해결 가능해지며, 이는 투표 시스템에서 불완전 정보의 계산적 경계를 정확히 규명한다.

ABSTRACT

We consider election scenarios with incomplete information, a situation that arises often in practice. There are several models of incomplete information and accordingly, different notions of outcomes of such elections. In one well-studied model of incompleteness, the votes are given by partial orders over the candidates. In this context we can frame the problem of finding a possible winner, which involves determining whether a given candidate wins in at least one completion of a given set of partial votes for a specific voting rule. The possible winner problem is well-known to be NP-complete in general, and it is in fact known to be NP-complete for several voting rules where the number of undetermined pairs in every vote is bounded only by some constant. In this paper, we address the question of determining precisely the smallest number of undetermined pairs for which the possible winner problem remains NP-complete. In particular, we find the exact values of $t$ for which the possible winner problem transitions to being NP-complete from being in P, where $t$ is the maximum number of undetermined pairs in every vote. We demonstrate tight results for a broad subclass of scoring rules which includes all the commonly used scoring rules (such as plurality, veto, Borda, $k$-approval, and so on), Copeland$^α$ for every $α\in[0,1]$, maximin, and Bucklin voting rules. A somewhat surprising aspect of our results is that for many of these rules, the possible winner problem turns out to be hard even if every vote has at most one undetermined pair of candidates.

연구 동기 및 목표

• 공통 투표 규칙에 대해 가능한 승자 문제의 NP-완전성이 발생하는 데 필요한 투표당 미결정 쌍 비교의 정확한 수를 규명하는 것.
• 특히, 문제의 복잡도가 P에서 NP-완전으로 전이되는 계산적 경계를 정확히 규명하는 것—즉, 누락 정보의 최소 임계값을 규명하는 것.
• 점수 벡터의 구조적 특성(예: 반복되거나 연속적인 점수 차이)을 기반으로, 넓은 범위의 투표 규칙에 대해 복잡도의 이분법을 해결하고, NP-완전성이 나타나는 t(투표당 최대 미결정 쌍 수)의 정확한 값을 규명하는 것.
• 부분 투표에서 누락된 쌍 비교 수에 따른 가능한 승자 문제의 복잡도를 완전히 분류하는 것.

제안 방법

• 저자는 t개의 미결정 쌍을 가진 부분 투표의 구조를 분석하고, 3차원 매칭과 같은 알려진 NP-완전 문제로부터의 축소를 통해 난이도를 증명한다.
• 점수 벡터가 m명의 후보자에 대해 정의된 것에서 m+1명의 후보자로의 복제 또는 끝점 연장에 의해 유도되는 '부드러운' 점수 규칙의 클래스를 정의한다.
• 각 투표 규칙에 대해, 점수 벡터의 구조—특히 (α+1,α+1,α) 또는 (α+2,α+1,α+1,α)와 같은 패턴의 존재 여부—에 기반한 케이스 분석을 수행하여 임계값 t를 규명한다.
• 최대 유량 기법과 조합론적 추론을 사용하여 후보자 순위를 모델링하고, 특정 부분 투표 완성 조건에서만 특별한 후보자 c가 승리할 수 있음을 검증한다.
• 3차원 매칭 문제의 인스턴스를 제어 가능한 누락 정보를 가진 가능한 승자 문제 인스턴스로 변환하는 변환을 설계하여 등가성을 유지한다.
• 특정 규칙에 대해 t ≤ 1일 경우 다항시간 해결 가능성을 입증하기 위해, c를 우선시하는 철저히 구성된 확장에 기반한 k-승인 알고리즘을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점수 규칙에 대해 가능한 승자 문제의 NP-완전성이 발생하는 데 필요한 투표당 최소한의 미결정 쌍 비교 수는 얼마인가?
• RQ2 어떤 점수 규칙의 클래스에서 각 투표에 단 하나의 미결정 쌍만 존재할 경우에도 문제의 NP-완전성이 유지되는가?
• RQ3 점수 벡터의 구조, 예를 들어 반복되거나 연속적인 점수 차이가 복잡도 임계값에 영향을 미치는가?
• RQ4 코플랜드α, 맥스민, 뱅클린 투표 규칙에 대해 가능한 승자 문제의 NP-완전성을 단 한 개의 누락된 쌍 비교로도 입증할 수 있는가?
• RQ5 모든 고려된 투표 규칙에 대해, t ≤ t₀일 경우 문제는 P에 속하고 t ≥ t₀ + 1일 경우 NP-완전이 되는 정확한 t가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 점수 규칙 중에서 연속 점수 간 두 가지의 서로 다른 비영점 차이를 가지는 경우, 투표당 최대 하나의 미결정 쌍(t ≤ 1)이 존재하더라도 가능한 승자 문제는 NP-완전하다.
• 패턴 (α+1, α+1, α)를 포함하는 점수 규칙의 경우, t ≥ 2일 때는 NP-완전이고 t ≤ 1일 때는 P에 속한다.
• 패턴 (α+2, α+1, α+1, α)를 포함하는 점수 규칙의 경우, t ≥ 3일 때는 NP-완전이고 t ≤ 2일 때는 P에 속한다.
• k-승인 및 k-vetto 규칙(k > 1)의 경우, t ≥ 4일 때는 NP-완전이고 t ≤ 3일 때는 P에 속한다.
• 점수 규칙 (2,1,1,…,1,0)의 경우, t ≥ m−1일 때는 NP-완전이고 t ≤ m−2일 때는 P에 속한다.
• 코플랜드α, 맥스민, 뱅클린 투표 규칙의 경우, t ≤ 2일 때조차도 문제의 NP-완전성이 유지되며, 이는 단지 두 개의 누락 비교로도 난이도가 유도됨을 시사한다.