[논문 리뷰] On the exceptional zeros of Rankin-Selberg L-functions

Dinakar Ramakrishnan, Song Wang|ArXiv.org|2001. 08. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 형식과 그의 대칭 제곱에 관련된 Rankin-Selberg L함수의 특별한 영점(landau-siegel 영점)을 조사한다. 함자성과 양성 논증을 사용하여, 이러한 영점이 존재할 경우 오직 그 L함수를 나누는 이차 Dirichlet L함수에서만 발생하며, s=1 근처에서 대칭 제6 및 제8 제곱 L함수에 대한 효과적 정칙성 경계를 확립한다. 이는 스펙트럼 노름과 계수 경계에 응용된다.

ABSTRACT

The main objects of study in this article are two classes of Rankin-Selberg L-unctions, namely L(s, f imes g) and L(s, sym^2(g) imes sym^2(g)), where f, g are newforms, holomorphic or of Maass type, on the upper half plane, and sym^2(g) denotes the symmetric square lift of g to GL(3). We prove that in general, i.e., when these L-functions are not divisible by L-functions of quadratic characters (such divisibility happening rarely), they do not admit any Landau-Siegel zeros. These zeros, which are real and close to s=1, are highly mysterious and are not expected to occur. There are corollaries of our result, one of them being a strong lower bound for special value at s=1, which is of interest both geometrically and analytically. One also gets this way a good bound on the norm of sym^2(g).

연구 동기 및 목표

• GL(2) 및 GL(3) 상의 자동형식과 관련하여 Rankin-Selberg L함수 $ L(s,\pi \times \pi') $ 가 $ s=1 $ 근처에서 특별한 영점을 갖는 조건을 규명하는 것.
• 관련 L함수에서 특별한 영점이 존재하지 않는다는 가정 하에, 마이스터 형식에 대한 $ \text{sym}^2(f) $ 의 페테르손 노름에 대한 날카운 경계를 확립하는 것.
• 자기적 특성이 없는 헬로모르픽 뉴폼의 대칭 제6 및 제8 제곱 L함수가 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 에서 정칙임을 증명하는 것. 여기서 $ M $ 은 두꺼워진 도전 인자이다.
• $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 가 $ s=1 $ 근처에서 0이 아님을 이용하여, $ \text{sym}^2(g) $ 의 스펙트럼적으로 정규화된 첫 번째 푸리에 계수 $ a(1,1) $ 에 대한 상한을 유도하는 것.

제안 방법

• 관심 있는 L함수로 나누어지는 양의 Dirichlet 급수 $ D(s) $ 를 구성하고, $ D(s)/L(s)^k $ 가 $ s=1 $ 오른쪽 근처에서 정칙임을 이용하여 특별한 영점을 탐지하는 방법을 사용한다.
• Goldfeld, Hoffstein, Lieman, Lockart 의 결과를 응용하여, 비이중형 $ \pi $ 에 대해 $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ 가 0이 아님을 알려진 결과로 적용한다.
• 국소 Langlands 대응과 표현 이론을 활용하여 유한 및 아르키메데스 자리에서 대칭 제곱 L함수의 정칙성을 분석한다.
• Kim 및 Shahidi 의 결과를 활용하여 제8까지의 대칭 제곱의 자동성에 대한 연구를 수행하며, $ F/\mathbb{Q} $ 가 갈로아 확장이면서 이차 체를 포함하지 않는 한 $ \zeta_F^S(s) $ 는 특별한 영점을 갖지 않음을 이용한다.
• 식 $ L(s, \text{sym}^6(\pi)) = L(s, \text{sym}^2(\pi)) \cdot L(s, \text{sym}^4(\pi); \Lambda^2) $ 를 적용하여 문제를 알려진 정칙성 결과로 환원한다.
• 비분해 또는 온전한 국소 구성 요소를 가진 $ \pi $ 는 $ \Re(s) > 1/2 $ 에서 정칙 대칭 제곱 L함수를 유도하며, 이는 분해되지 않은 자리에서 불완전한 L함수로 확장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rankin-Selberg L함수 $ L(s, \pi \times \pi') $ 가 $ s=1 $ 근처에서 특별한 영점을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특별한 영점이 $ L(s, \pi \times \pi') $ 에서 발생하는 정도는 어떤가? 특히 이는 나누는 이차 Dirichlet L함수에서 기인하는가?
• RQ3 모듈러 형식의 대칭 제6 및 제8 제곱 L함수에 대한 효과적 정칙성 스트립 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 은 무엇인가?
• RQ4 특별한 영점이 $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ 에 존재하지 않는다는 사실이 $ \text{sym}^2(f) $ 의 노름에 대한 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 분석적 성질을 이용하여 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 의 비영성과 함께 $ \text{sym}^2(g) $ 의 스펙트럼적으로 정규화된 첫 번째 푸리에 계수 $ a(1,1) $ 에 대한 상한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $ L(s, f \times g) $ 와 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 의 특별한 영점 집합은 정확히 그들을 나누는 이차 Dirichlet L함수의 특별한 영점들의 합집합이다.
• SL(2,\mathbb{Z}) 상의 마이스터 형식 $ f $ 에 대해, $ \text{GL}(3)/\mathbb{Q} $ 상에서 $ \text{sym}^2(f) $ 의 노름은 라플라스 고유값 $ \lambda $ 를 이용한 날카운 하한을 갖는다. 이는 $ f $ 의 페테르손 노름에 대해 알려진 경계와 유사하다.
• 자기적 특성이 있는 헬로모르픽 뉴폼의 대칭 제6 및 제8 제곱 L함수는 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 에서 정칙이며, 여기서 $ c > 0 $ 은 효과적인 전지수 상수이고 $ M $ 은 두꺼워진 도전 인자이다.
• $ \text{sym}^2(g) $ 의 스펙트럼적으로 정규화된 첫 번째 푸리에 계수 $ a(1,1) $ 는 $ s=1 $ 근처에서 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ 가 0이 아니라는 사실에서 유도된 양호한 상한을 갖는다.
• $ L^S(s, \pi; \text{sym}^6) $ 는 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ 에서 정칙이며, $ F $ 가 $ \mathbb{Q} $ 의 갈로아 확장이면서 이차 체를 포함하지 않는 한 $ \text{sym}^8 $ 에 대해서도 동일한 성질이 성립한다.
• 증명은 비판적 스트립 내에서 $ L(s, \text{sym}^4(\pi)) $ 와 $ \zeta_F^S(s) $ 가 0이 아니라는 사실에 기반하며, 이는 알려진 결과와 주어진 가정 하에서 특별한 영점이 존재하지 않음을 따르는 것이다.