[논문 리뷰] On the Existence and Long-Term Stability of Voltage Equilibria in Power Systems with Constant Power Loads

Alexey S. Matveev, Juan E. Machado외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 21.

Microgrid Control and Optimization참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일정 전력 부하를 갖는 전력 시스템에서 전압 평형점의 존재성, 유일성 및 장기적 안정성을 분석하기 위해 동적 시스템 접근법을 제안한다. 대수적 전력 흐름 방정식을 미분방정식(OED) 시스템과 연관시켜, 평형점이 존재할 경우 유일하고 전역적으로 안착하는, 구성요소별 최대 평형점이 존재하며 국소적으로 점점 안정됨을 증명한다. 이는 존재성 검증과 안정해의 계산을 위한 단순한 온라인 계산 절차를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Voltage instability is a major threat in power system operation. The growing presence of constant power loads significantly aggravates this issue, hence motivating the development of new analysis methods for both existence and stability of voltage equilibria. Formally, this problem can be cast as the analysis of solutions of a set of nonlinear algebraic equations of the form $f(x)=0$, where $f:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^{n}$, and the associated differential equation $\dot x=f(x)$. By invoking advanced concepts of dynamical systems theory and effectively exploiting its monotonicity, we exhibit all possible scenarios for existence, uniqueness and stability, of its equilibria. We prove that, if there are equilibria, there is a distinguished one that is locally stable and attractive, and we give some physically-interpretable conditions such that it is unique. Moreover, a simple on-line procedure to decide whether equilibria exist of not, and to compute the distinguished one is proposed. In addition, we show how the proposed framework can be applied to long-term voltage stability analysis in AC power systems, multi-terminal high-voltage DC systems and DC microgrids.

연구 동기 및 목표

• 일정 전력 부하의 증가로 인한 현대 전력 시스템의 전압 불안정 문제 해결을 위한 도전 과제에 대응한다.
• 교류(AC), 직류(DC), 다중 단자 HVAC(DC) 시스템에서 전압 평형점의 존재 여부와 안정성 여부를 판단하기 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공한다.
• 안정 평형점이 유일하고, 계산 가능성이 있는 온라인 절차를 통해 식별 가능한 조건을 설정한다.
• 비선형 전력 시스템 모델에서 지배적이고 안정된 평형점을 특성화함으로써 장기적 전압 안정성 분석을 가능하게 한다.

제안 방법

• 전력 시스템의 정 steady-state 문제를 비선형 대수방정식 $ f(x) = 0 $ 으로 공식화하며, 여기서 $ x \in \mathbb{R}^n $ 은 전압 크기를 나타낸다.
• 대수방정식을 일반 미분방정식(OED) $ \dot{x} = f(x) $ 와 연관시켜 동적 시스템 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 단조성과 볼록 분석을 활용하여 궤적이 유일하고 구성요소별로 최대 평형점으로 수렴하는 조건을 도출한다.
• 초기 조건의 집합을 계산하기 위한 볼록 최적화 기반 절차를 제안하며, 이로부터 궤적이 최대 평형점으로 수렴하거나 유한 시간 내에 0에 도달한다.
• 자기행렬(Jacobian matrix)과 고유값 분석을 활용하여 특징화된 평형점 $ \bar{x}_{\text{max}} $ 의 국소적 점점 안정성을 검증한다.
• 표준 예제와 시뮬레이션을 통해 교류 전력 시스템, 다중 단자 HVAC 네트워크, 직류 마이크로그리드에 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일정 전력 부하를 갖는 전력 시스템에서 전압 평형점은 어떤 조건에서 존재하는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 유일하고 안정적이며 구성요소별로 최대인 평형점은 식별 가능할 수 있는가?
• RQ3 계산적으로 실현 가능한 방법을 통해 장기적 안정성을 어떻게 판단할 수 있는가?
• RQ4 일정 전력 부하 존재 조건 하에서 안정 평형점의 유일성을 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ5 존재성 검증과 안정 전압 평형점 계산을 위한 실시간 온라인 절차를 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 평형점이 존재할 경우, 유일하고 구성요소별로 최대인 평형점 $ \bar{x}_{\text{max}} $ 가 존재하며, 이는 국소적으로 점점 안정되고, 잘 정의된 도메인에서 시작하는 모든 궤적을 끌어당린다.
• 모든 궤적은 초기 조건에 따라 $ \bar{x}_{\text{max}} $ 로 수렴하거나, 유한 시간 내에 적어도 하나의 구성요소가 0에 도달한다.
• 간단한 온라인 절차를 제안한다: $ n $ 개의 볼록 대수부등식 시스템을 풀어 초기 상태 집합을 식별한다; 구성요소가 유한 시간 내에 0에 도달하지 않으면 궤적이 $ \bar{x}_{\text{max}} $ 로 수렴한다.
• 최대 평형점 $ \bar{x}_{\text{max}} $ 는 모든 다른 평형점보다 구성요소별로 지배적이며, 물리적으로 해석 가능한 조건 하에서 유일한 안정 평형점이다.
• 평형점의 수는 유한하며, $ \bar{x}_{\text{max}} $ 에서의 자기행렬은 비특이적이므로 국소적 점점 안정성이 보장된다.
• 이 프레임워크는 교류 전력 시스템, 다중 단자 HVAC 네트워크, 직류 마이크로그리드에 적용 가능하며, 장기적 전압 안정성 분석을 가능하게 한다.