[논문 리뷰] On the Existence and Temperedness of Cusp Forms for SL(3,Z)

Stephen D. Miller|ArXiv.org|2000. 06. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 세르베르크 추적 공식의 기술적 과제를 피하기 위해 새로운 부분 추적 공식을 사용하여 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 위에서 이산 라플라스 스펙트럼에 대한 와일의 점근 법칙을 확립한다. 거의 모든 컵스 폼이 무한대에서 온전한(tempered) 성질을 가지며, 업그레이드되지 않은 비자기적 컵스 폼의 존재를 확인함으로써 사르나크의 컵스피드 스펙트럼의 점근적 행동에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We develop a partial trace formula which circumvents some technical difficulties in computing the Selberg trace formula for the quotient $SL_3({\Z})\backslash SL_3({\R})/SO_3({\R})$. As applications, we establish the Weyl asymptotic law for the discrete Laplace spectrum and prove that almost all of its cusp forms are tempered at infinity. The technique shows there are non-lifted cusp forms on $SL_3({\Z})\backslash SL_3({\R})/SO_3({\R})$ as well as non-self-dual ones. A self-contained description of our proof for $SL_2({\Z})\backslash \U$ is included to convey the main new ideas. Heavy use is made of truncation and the Maass-Selberg relations.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 몫인 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 위에서 이산 라플라스 스펙트럼에 대한 와일 점근 법칙을 확립하는 것. 이 경우 스펙트럼의 분리가 매우 비틀림이 심하다.
• 이 공간 위의 거의 모든 이산 스펙트럼 고유형태(컵스 폼)가 무한대에서 온전한 성질을 가짐을 증명하는 것. 이는 랑글랜즈 프로그램에서 핵심적인 성질이다.
• Gelbart-Jacquet의 $SL_2(\mathbb{Z})$ 마스 폼에서 유도되는 것 외의 업그레이드되지 않은 비자기적 컵스 폼이 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 위에 존재함을 보여주는 것.
• 높은 랭크에서 에이젠스타이니 시리즈와 잘라내기(truncation)를 다룰 때 발생하는 기술적 과제를 피하기 위해, 전체 세르베르크 추적 공식의 난이도를 피하는 새로운 부분 추적 공식을 개발하고 적용하는 것.

제안 방법

• 이산 스펙트럼을 연속 스펙트럼에서 분리하기 위해 잘라내기와 마스-세르베르크 관계를 사용한 부분 추적 공식을 개발한다.
• 관측 가능한 미분 연산자의 공동 스펙트럼에서 스펙트럼을 국소화하기 위해 함수 $\hat{g}_{t\Sigma}(\lambda)$ 를 통한 새로운 스펙트럼 절단 기법을 적용한다.
• 리만 제타 함수와 $L$-함수의 함수방정식 및 볼록성 추정치를 사용하여 에이젠스타이니 시리즈와 그 잔여항의 성장률을 제어한다.
• 스펙트럼 조밀도를 분석하고 $L^2$-노름에 대한 경계를 유도하기 위해 $R(s)$-함수와 그 성질을 활용한다.
• 기본 영역에서 $L^2$-노름에 대한 에이젠스타이니 시리즈의 다항식 성장 경계를 확립하며, 최대 포지션 파라보릭 에이젠스타이니 시리즈의 경우 $SL_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ 위의 합산을 통해 특별한 처리를 한다.
• 높은 랭크 분석을 위한 기초로 $SL_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ 위의 와일 법칙을 적용하여 방법의 타당성을 검증하고, 분석의 기초를 마련한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사르나크가 추측한 lin{SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})} 위에서 라플라스 연산자의 컵스피드 스펙트럼에 대해 와일 법칙이 성립하는가?
• RQ2 SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R}) 위에서 거의 모든 컵스 폼이 무한대에서 온전한가?
• RQ3 SL_2(\mathbb{Z}) 마스 폼에서 유도되는 것 외의 업그레이드되지 않은 컵스 폼이 SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R}) 위에 존재하는가?
• RQ4 높은 랭크에서 전체 세르베르크 추적 공식의 기술적 난이도를 피할 수 있는 부분 추적 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 몫 위에서 라플라스 고유값의 수가 $T$ 이하일 때의 정확한 점근적 성장률은 무엇인가?

주요 결과

• 컵스피드 스펙트럼에 대해 와일 법칙이 성립한다: $N(T) \sim \frac{\mathrm{vol}(SL_3(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})}{\Gamma(7/2)} \left(\frac{T}{4\pi}\right)^{5/2}$ as $T \to \infty$, 사르나크의 추측을 확인한다.
• SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R}) 위에서 거의 모든 컵스 폼이 무한대에서 온전하다. 이는 $L^2$-노름 경계와 스펙트럼 국소화를 통해 입증된다.
• 업그레이드되지 않은 컵스 폼이 $SL_3(\mathbb{Z})\backslash SL_3(\mathbb{R})/SO_3(\mathbb{R})$ 위에 존재하며, 스펙트럼은 자기를 만족하지 않는 형태를 포함한다. 이는 공동 스펙트럼 분석을 통해 입증된다.
• 에이젠스타이니 시리즈의 기여를 경계함으로써 이론적으로 이산 스펙트럼을 성공적으로 분리하였다. $\int_{\mathcal{F}_C} \mathrm{Eis}_{g_{t\Sigma}}(x,x)\,dx = o\left(\int_{t\Sigma} \beta(\lambda)\,d\lambda\right)$ 를 통해 와일 법칙이 도출됨을 보였다.
• 잘라낸 에이젠스타이니 시리즈의 $L^2$-노름은 어떤 다항식보다 느리게 성장하며, 최대 포지션 파라보릭 기여는 $O_\epsilon(\|\lambda\|^{1+\epsilon})$ 로 경계되며, 이는 스펙트럼의 분리 가능성을 보장한다.
• 증명 과정에서 $R(\frac{1}{2}+it) \ll 1$, $|R(-\frac{1}{2}+it)R(\frac{1}{2}+it)| = 1$, 그리고 $\frac{d}{d\epsilon}\left.\frac{Z(\frac{3}{2}+it+\epsilon)}{Z(\frac{3}{2}+it-\epsilon)}\right|_{\epsilon=0} = O(\log t)$ 를 확립하였으며, 이는 스펙트럼 경계에 매우 중요하다.