[논문 리뷰] On the Existence of Absolutely Maximally Entangled States of Minimal Support

Antonio Bernal|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소 차원 5인 7-qudit에 대해 절대적으로 최대 얽힘을 가진(AME) 상태 중 최소 지지도가 존재하지 않음을 증명한다. 이는 AME 존재 문제에서 핵심 케이스를 해결한다. 최근의 비선형 MDS 코드와 선형 코드 간의 연결 고리를 활용하여, 필요한 조건 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1이 충분하지 않음을 보이며, 이 조건을 만족함에도 불구하고 AME(7,5) 상태는 금지되어 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper we prove that no absolutely maximally entangled, AME, state with minimal support exists with 7 sites and 5 levels. General AME states are pure multipartite states that, when reduced to half or less of the sites, the maximum entropy mixed state is obtained. They have found applications in teleportation and quantum secret sharing, and finding conditions for their existence is a well known open problem. We consider the version of this problem for minimally supported AME states. We single out known both sufficient and necessary conditions in that case. From our negative result, we show that the necessary condition is not sufficient. The proof uses a recent result on the theory of general, nonlinear, classical codes.

연구 동기 및 목표

• 다중편성 양자 시스템에서 최소 지지도를 가진 절대적으로 최대 얽힘 상태(AME 상태)의 존재 조건을 규명하는 것.
• AME(n,d) 상태의 최소 지지도에 대해 알려진 필수 조건 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1이 충분 조건인지를 조사하는 것.
• 최소 지지도를 가진 AME(7,5) 상태의 존재 여부를 해결하는 것.
• 최근의 고전적 부호 이론의 발전을 양자 정보 문제에 적용하는 것, 특히 비선형 MDS 부호와 선형 부호 간의 관계를 다루는 것.

제안 방법

• 논문의 정리 1을 사용하여 최소 지지도를 가진 AME 상태와 특정 매개변수를 가진 최대거리분리(MDS) 부호 간의 등가성을 확립한다.
• 길이 7, 차원 3인 선형 MDS 부호가 GF(5) 위에 존재하지 않는다는 알려진 결과인 L₅(3) = 6를 사용한다.
• 최근의 결과 [5]를 적용하여, 알파벳 크기가 5이고 최소 거리 ≥3, 크기가 5^k인 모든 MDS 부호는 좌표 순열과 기호 순열을 통해 선형 MDS 부호로 변환될 수 있다.
• GF(5) 위에서 길이 7, 차원 3인 선형 MDS 부호가 존재하지 않음을 바탕으로, 동일한 매개변수를 가진 비선형 MDS 부호의 존재하지 않음을 증명한다.
• AME 상태와 MDS 부호 간의 쌍대성 관계를 활용하여, 부호 이론적 결과를 양자 정보 이론적 결과로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 지지도를 가진 AME(7,5) 상태가 존재하는가?
• RQ2 AME(n,d) 상태의 최소 지지도에 대해 알려진 필수 조건 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1이 충분 조건인가?
• RQ3 비소수거듭제곱 알파벳 위의 비선형 MDS 부호는 순열 변환을 통해 선형 부호로 환원될 수 있는가?
• RQ4 국소 차원 d가 주어졌을 때, 최소 지지도를 가진 AME 상태가 존재할 수 있는 큼직한 큐디트 수 N(d)의 최댓값은 얼마인가?

주요 결과

• 길이 7, 차원 3, 최소 거리 5인 GF(5) 위의 해당하는 MDS 부호가 존재하지 않음을 보여, 최소 지지도를 가진 AME(7,5) 상태는 존재하지 않음을 증명하였다.
• 필수 조건 d ≥ ⌈n/2⌉ + 1이 충분하지 않음을 보이며, AME(7,5)는 이 조건을 만족하지만 존재하지 않는다.
• 국소 차원 d=5일 때 최소 지지도를 가진 AME 상태가 존재할 수 있는 큼직한 큐디트 수 N(5)는 6이며, 이는 d=5일 때의 상한 2d−2 = 8과 모순된다.
• 최근의 결과 [5]에 따라, GF(5) 위에서 차원 3인 선형 MDS 부호에 대한 경계 L₅(3) = 6는 비선형 MDS 부호로도 확장됨을 확인하였다.
• d가 소수 거듭제곱일 경우, AME(n,d) 상태의 최소 지지도 존재 여부는 GF(d) 위에서 매개변수 [n, ⌊n/2⌋, ⌈n/2⌉ + 1]를 가진 MDS 부호의 존재 여부와 동치이다.