[논문 리뷰] On the Existence of Bertrand-Nash Equilibrium Prices Under Logit Demand

William R. Morrow, Steven J. Skerlos|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 28.

Economic theories and models인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 로짓 수요 모델을 사용하여, 다각도 제품 시장에서 베르트랑-내시 균형 가격의 존재를 증명한다. 이는 다제품 기업, 비대칭 원가, 비볼록 utility 함수 등의 약한 조건 하에서도 성립하며, Poincaré-Hopf 정리와 이차 조건 분석을 통해 이루어진다. 주요 기여는 대칭성이나 볼록성 가정에 의존하지 않는 일반적인 존재 증명을 제공하는 것이며, 동시에 다제품 설정에서의 정당성에 도전하는 직관에 어긋나는 가격 성질을 드러낸다.

ABSTRACT

This article presents a proof of the existence of Bertrand-Nash equilibrium prices with multi-product firms and under the Logit model of demand that does not rely on restrictive assumptions on product characteristics, firm homogeneity or symmetry, product costs, or linearity of the utility function. The proof is based on conditions for the indirect utility function, fixed-point equations derived from the first-order conditions, and a direct analysis of the second-order conditions resulting in the uniqueness of profit-maximizing prices. Several subsequent results also demonstrate that price equilibrium under the Logit model of demand cannot adequately describe multi-product pricing.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 조건 하에서 다각도 제품 시장에서의 베르트랑-내시 균형 가격의 이론적 존재성을 확립하기.
• 다제품 기업과 비선형 utility 함수를 고려한 베르트랑 경쟁의 실증적 적용에 대한 이론적 근거 부족 문제를 다루기.
• 표준 도구인 초모듈라성과 준볼록성의 실패를 드러내기 위해 로짓 모델 하에서의 다제품 설정에서의 성립 여부를 분석하기.
• 균형 존재성이 이질적이고 다각도 제품 시장에서의 실제 가격 설정 모델링에 미치는 영향을 분석하기.
• 로짓 모델이 다제품 가격 역학을 현실적으로 반영하지 못할 수 있으며, 이는 직관에 어긋나는 균형 성질 때문임을 보여주기.

제안 방법

• 간접 utility 함수에 대한 최소한의 가정 하에서 균형 가격의 존재성을 증명하기 위해 Poincaré-Hopf 정리를 적용한다.
• 이윤 최적화의 일阶 조건에서 유도된 고정점 방정식을 통해 균형 가격을 특성화한다.
• 로짓 수요 모델 하에서 이윤 최적화 가격의 유일성을 입증하기 위해 직접적인 이차 조건 분석을 수행한다.
• 볼록성 또는 대칭성보다 더 약한 조건을 간접 utility 함수에 도입한다.
• 로짓 모델 하에서 다제품 기업의 이윤 함수에서 초모듈라성과 로그-초모듈라성의 실패를 분석하며, 균형 근처에서도 성립하지 않음을 밝힌다.
• 유한한 구매력과 볼록 총비용(체적에 따라 증가하는 단위비용 포함)을 고려한 모델로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로짓 수요 모델 하에서 다제품, 다각도 제품 시장에서의 베르트랑-내시 균형이 일반적인 조건 하에 존재하는가?
• RQ2 기업의 대칭성, 단일 제품 구조, 또는 볼록 utility 함수의 가정 없이도 균형 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 왜 로짓 수요 하에서 다제품 기업 설정에서는 초모듈라성 또는 준볼록성 기반의 표준 존재 증명이 실패하는가?
• RQ4 균형 존재성이 로짓 기반의 다제품 시장에서의 실증적 응용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 로짓 모델의 균형 성질이 직관에 어긋나는 가격 행동을 드러내어 그 실증적 타당성을 떨어뜨리는가?

주요 결과

• Poincaré-Hopf 정리는 비대칭 기업과 비볼록 utility 함수를 포함한 약한 조건 하에서도 베르트랑-내시 균형 가격의 일반적 존재 증명을 제공한다.
• 이차 조건 분석을 통해 이윤 최적화 가격의 유일성이 입증되며, 이는 이윤 함수가 초모듈라성 또는 준볼록성이 아닐 경우에도 성립한다.
• 모델은 가격이 매우 클수록 국소적으로 이윤이 증가할 수 있음을 드러내며, 이는 표준적인 유한한 이윤 최적화 기준을 위반한다.
• 다제품 기업의 로짓 모델 하에서 초모듈라성과 로그-초모듈라성은 균형 근처에서도 임의로 실패하며, 이는 표준 존재 증명의 불가능성을 시사한다.
• 균형의 존재는 실증적 타당성을 의미하지 않으며, 균형 가격이 직관에 어긋나는 행동을 보여주어 보다 복잡한 모델이 필요함을 시사한다.
• 유한한 구매력과 볼록 총비용을 고려한 모델도 동일한 일반 조건 하에서 균형이 존재함을 입증하여 적용 범위를 확장한다.